Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，∠ADE＝∠B．設(shè)BD的長(zhǎng)為x，CE的長(zhǎng)為y．

（1）當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

（3）如果△ADE為等腰三角形，求x的值．

Answer 1

【答案】(1);(2) y＝﹣x2+x（0≤x＜8）；(3) 2或.

【解析】

（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AB=AC得∠B=∠C，再利用三角形外角性質(zhì)得∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，加上∠ADE=∠B，則∠BAD=∠CDE，根據(jù)相似三角形的判定方法待定△ABD∽△DCE，利用相似比得到y=-x2＋x（0≤x≤8），然后把x=4代入計(jì)算得到CE的長(zhǎng)為；
（2）由（1）得到y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2＋x（0≤x≤8）；
（3）由于∠AED＞∠C，而∠B=∠ADE=∠C，則∠AED＞∠ADE，所以AE＜AD，然后分類討論：當(dāng)DA=DE時(shí)，利用△ABD∽△DCE得到=1，即x=y，得到一元二次方程-x2＋x＝x，解方程得x1=0（舍去），x2=2；當(dāng)EA=ED時(shí)，得到∠EAD=∠ADE，而∠ADE=∠C，所以∠EAD=∠C，可判斷△DAC∽△ABC，利用相似比得到=，解得x=．

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，

而∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴，

∴y=-x2＋x，

當(dāng)x＝4時(shí)， y=-×16＋×4＝，

即當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，CE的長(zhǎng)為；

（2）由（1）得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2＋x（0≤x≤8）；

（3）∵∠AED＞∠C，

而∠B＝∠ADE＝∠C，

∴∠AED＞∠ADE，

∴AE＜AD，

當(dāng)DA＝DE時(shí)，

∵△ABD∽△DCE，

∴，即＝1，

∴x＝y，

∴-x2＋x＝x，解得x1＝0（舍去），x2＝2，

當(dāng)EA＝ED時(shí)，則∠EAD＝∠ADE，

而∠ADE＝∠C，

∴∠EAD＝∠C，

∴△DAC∽△ABC，

∴，即=，

∴x＝，

綜上所述，當(dāng)△ADE為等腰三角形，x的值為2或．