【題目】已知:如圖,在四邊形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于點C,A(2,﹣2),B(6,﹣2),動點P從點O出發(fā),沿著x軸正方向以每秒2個單位的速度移動,過點P作PQ垂直于直線OA,垂足為點Q,設(shè)點P移動的時間t秒(0<t<4).△OPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S.
(1)求經(jīng)過O、A、B三點的拋物線的解析式;
(2)若將△OPQ沿著直線PQ翻折得到△O′PQ,則當(dāng)t=時,點O′恰好在拋物線上.
(3)在(2)的條件下,記△O′PQ與四邊形OABC重疊的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并注明自變量的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
把O(0,0),A(2,﹣2),B(6,﹣2)代入得: ,
解得 ,
所以拋物線的解析式為: .
(2)1
(3)解:解:由題意A(2,﹣2),可知直線OA是第二四象限的角平分線,∠AOC=45°,PQ⊥OA,△OPQ與△O′PQ是全等的等腰直角三角形,OP=PO′=2t,PQ=
①:如圖2中,當(dāng)0<t≤1時,重疊部分是△PQO′.
s=t2(0<t≤1)
②:如圖3中,當(dāng)1<t≤2時,重疊部分是四邊形PQAH.
s= t t﹣ (2t﹣2)2=﹣t2+4t﹣2(1<t≤2)
③:如圖4中,當(dāng)2<t≤3時,重疊部分是△PEH.
s= 22=2.
④:如圖5中,當(dāng)3<t<4時,重疊部分是△BEH.
s= (8﹣2t)2.
綜上所述,s=
【解析】解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
把O(0,0),A(2,﹣2),B(6,﹣2)代入得: ,
解得 ,
所以拋物線的解析式為: .
(2)如圖1中,當(dāng)點O′與A重合時,點O′恰好在拋物線上.
∵A(2,﹣2),
∴OA=2 ,OQ= ,OP=2,
∴t=1時,點O′在拋物線上.
所以答案是:(2)1.解:解:由題意A(2,﹣2),可知直線OA是第二四象限的角平分線,∠AOC=45°,PQ⊥OA,△OPQ與△O′PQ是全等的等腰直角三角形,OP=PO′=2t,PQ= 2 t
①:如圖2中,當(dāng)0<t≤1時,重疊部分是△PQO′.
s=t2(0<t≤1)
②:如圖3中,當(dāng)1<t≤2時,重疊部分是四邊形PQAH.
s= t t﹣ (2t﹣2)2=﹣t2+4t﹣2(1<t≤2)
③:如圖4中,當(dāng)2<t≤3時,重疊部分是△PEH.
s= 22=2.
④:如圖5中,當(dāng)3<t<4時,重疊部分是△BEH.
s= (8﹣2t)2.
綜上所述,s=
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)根據(jù)畫函數(shù)圖象的步驟,在如圖的直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)y=|x|的圖象;
(2)求證:無論m取何值,函數(shù)y=mx﹣2(m﹣1)的圖象經(jīng)過的一個確定的點;
(3)若(1),(2)中兩圖象圍成圖形的面積剛好為2,求m值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(10分)如圖,已知△ABC為等邊三角形,點D、E分別在BC、AC邊上,且AE=CD,AD與BE相交于點F。
(1)求證:△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度數(shù)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點P,M,N分別在等邊△ABC的各邊上,且MP⊥AB,MN⊥BC,PN⊥AC.
(1)求證:△PMN是等邊三角形;
(2)若AB=9 cm,求CM的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,△ABC為等邊三角形,AE=CD,AD、BE相交于點P.
(1)求證:△AEB≌△CDA;
(2)求∠BPQ的度數(shù);
(3)若BQ⊥AD于Q,PQ=6,PE=2,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的網(wǎng)格,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為.格中各有一個完全相同的三角形,請在圖1、圖2分別面一條直線,滿足以下要求
(1)直線與三角形的交點要經(jīng)過網(wǎng)格的格點(每個小正方形的頂點均為格點)
(2)在圖1、圖2中分別用不同的方法將三角形分成兩個圖形其中一個是三角形另一個是四邊形,分割后的三角形的面積記為,四邊形的面積為,且.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣1.且過點(0.5,0),有下列結(jié)論:
①abc>0; ②a﹣2b+4c=0; ③25a﹣10b+4c=0; ④3b+2c>0;⑤a﹣b≥m(am﹣b).
其中所有正確的結(jié)論是( )
A.①②③
B.①③④
C.①②③⑤
D.①③⑤
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【題目】已知BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠BED =∠ABE +∠EDC.
(1)如圖1,求證:AB//CD;
(2)如圖2,若∠ABE=3∠ABF,且∠BFD=30°時,試求的值;
(3)如圖3,若H是直線CD上一動點(不與D重合),BI平分∠HBD,畫出圖形,并探究出∠EBI與∠BHD的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點M.
(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點N,使△NAC的面積最大?若存在,請求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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