【題目】如圖,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°,AB與CE交于F,ED與AB,BC,分別交于M,H.
(1)求證:CF=CH;
(2)△ABC不動,將△EDC繞點C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=45°,證明:四邊形ACDM是菱形.

【答案】
(1)證明:在△ACB和△ECD中,

∵∠ACB=∠ECD=90°,

∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,

∴∠1=∠2;

又∵AC=CE=CB=CD,

∴∠A=∠D=45°;

在△CFA和△CHD中,

∴△CFA≌△CHD(AAS),

∴CF=CH


(2)證明:∵∠ACB=∠ECD=90°,∠BCE=45°,

∴∠1=45°,∠2=45°.

又∵∠E=∠B=45°,

∴∠1=∠E,∠2=∠B,

∴AC∥MD,CD∥AM,

∴四邊形ACDM是平行四邊形,

又∵AC=CD,

∴平行四邊形ACDM是菱形


【解析】(1)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠1=∠2,再由AAS定理得出△CFA≌△CHD,進而可得出結(jié)論;(2)根據(jù)∠BCE=45°得出∠1=∠2=45°.根據(jù)∠E=∠B=45°得出∠1=∠E,∠2=∠B,故可得出四邊形ACDM是平行四邊形,再由AC=CD即可得出結(jié)論.
【考點精析】本題主要考查了菱形的判定方法和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握任意一個四邊形,四邊相等成菱形;四邊形的對角線,垂直互分是菱形.已知平行四邊形,鄰邊相等叫菱形;兩對角線若垂直,順理成章為菱形;①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了才能正確解答此題.

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