Question

已知：a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，試判斷△ABC的形狀．

解：∵a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，①

∴c²（a²﹣b²）=（a²+b²）（a²﹣b²）．②

∴c²=a²+b²．③

∴△ABC是直角三角形．

問：

（1）在上述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫出該步的代號(hào)：__________；

（2）錯(cuò)誤的原因?yàn)?u>__________；

（3）本題正確的解題過程：

Answer 1

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．

【專題】推理填空題．

【分析】（1）（2）兩邊都除以a²﹣b²，而a²﹣b²的值可能為零，由等式的基本性質(zhì)，等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)不為0的整式，等式仍然成立．

（3）根據(jù)等式的基本性質(zhì)和勾股定理，分情況加以討論．

【解答】解：（1）③

（2）除式可能為零；

（3）∵a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，

∴c²（a²﹣b²）=（a²+b²）（a²﹣b²），

∴a²﹣b²=0或c²=a²+b²，

當(dāng)a²﹣b²=0時(shí)，a=b；

當(dāng)c²=a²+b²時(shí)，∠C=90°，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

故答案是③，除式可能為零．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、分類討論．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．