【題目】如圖,已知AB是⊙O的弦,半徑OA=2,OA和AB的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)求弦AB的長(zhǎng)度;

(2)計(jì)算S△AOB

(3)⊙O上一動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周,當(dāng)S△POA=S△AOB時(shí),求P點(diǎn)所經(jīng)過的弧長(zhǎng)(不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)B重合的情形).

【答案】(1)AB=2;(2)S△AOB=;(3)當(dāng)S△POA=S△AOB時(shí),P點(diǎn)所經(jīng)過的弧長(zhǎng)分別是、、

【解析】試題分析:(1)OA和AB的長(zhǎng)度是一元二次方程的根,所以利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可求出AB的長(zhǎng)度;

(2)作出△AOB的高OC,然后求出OC的長(zhǎng)度即可求出面積;

(3)由題意知:兩三角形有公共的底邊,要面積相等,即高要相等.

試題解析:(1)由題意知:OA和AB的長(zhǎng)度是x2﹣4x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

∴OA+AB=﹣=4,

∵OA=2,

∴AB=2;

(2)過點(diǎn)C作OC⊥AB于點(diǎn)C,

∵OA=AB=OB=2,∴△AOB是等邊三角形,∴AC=AB=1,

在Rt△ACO中,由勾股定理可得:OC=,∴S△AOB=AB﹒OC=×2×=

(3)延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D,由于△AOB與△POA有公共邊OA,

當(dāng)S△POA=S△AOB時(shí),∴△AOB與△POA高相等,

由(2)可知:等邊△AOB的高為,∴點(diǎn)P到直線OA的距離為,這樣點(diǎn)共有3個(gè)

①過點(diǎn)B作BP1∥OA交⊙O于點(diǎn)P1,∴∠BOP1=60°,

∴此時(shí)點(diǎn)P經(jīng)過的弧長(zhǎng)為: =,

②作點(diǎn)P2,使得P1與P2關(guān)于直線OA對(duì)稱,∴∠P2OD=60°,

∴此時(shí)點(diǎn)P經(jīng)過的弧長(zhǎng)為: =,

③作點(diǎn)P3,使得B與P3關(guān)于直線OA對(duì)稱,∴∠P3OP2=60°,

∴此時(shí)P經(jīng)過的弧長(zhǎng)為: =,

綜上所述:當(dāng)S△POA=S△AOB時(shí),P點(diǎn)所經(jīng)過的弧長(zhǎng)分別是、

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,ABC中,AB=AC=4,cosC=

(1)動(dòng)手操作:利用尺規(guī)作以AC為直徑的⊙O,并標(biāo)出⊙O與AB的交點(diǎn)D,與BC的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡,不寫作法).

(2)綜合應(yīng)用:在你所作的圓中,求證:

(3)求△BDE的周長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】汛期來臨,水庫(kù)水位不斷上漲,經(jīng)勘測(cè)發(fā)現(xiàn),水庫(kù)現(xiàn)在超過警戒線水量640萬米3,設(shè)水流入水庫(kù)的速度是固定的,每個(gè)泄洪閘速度也是固定的,泄洪時(shí),每小時(shí)流入水庫(kù)的水量16萬米3,每小時(shí)每個(gè)泄洪閘泄洪14萬米3,已知泄洪的前a小時(shí)只打開了兩個(gè)泄洪閘,水庫(kù)超過警戒線的水量y(萬米3)與泄洪時(shí)間s(小時(shí))的關(guān)系如圖所示,根據(jù)圖象解答問題:

(1)求a的值;

(2)求泄洪20小時(shí),水庫(kù)現(xiàn)超過警戒線水量;

(3)若在開始泄洪后15小時(shí)內(nèi)將水庫(kù)降到警戒線水量,問泄洪一開始至少需要同時(shí)打開幾個(gè)泄洪閘?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列運(yùn)算中,正確的是(
A.x2+x4=x6
B.2x+3y=5xy
C.x6÷x3=x2
D.(x32=x6

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】實(shí)驗(yàn)與探究

(1)在圖①,圖②,圖③中,給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)AB,D的坐標(biāo),寫出圖①,圖②,圖③中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo),它們分別是________,___________,____________;

(2)在圖④中,給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo)(如圖所示),求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)(C點(diǎn)坐標(biāo)用含a,b,c,d,e,f的代數(shù)式表示);

歸納與發(fā)現(xiàn)

(3)通過對(duì)圖①,圖②,圖③,圖④的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究,你會(huì)發(fā)現(xiàn):無論平行四邊形ABCD處于直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置,當(dāng)其頂點(diǎn)C坐標(biāo)為(m,n)(如圖④)時(shí),則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)a,c,m,e之間的等量關(guān)系為___________,縱坐標(biāo)bd,nf之間的等量關(guān)系為__________.(不必證明)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知正方形ABCD和正方形CEFG,連結(jié)AF交BC于點(diǎn)O,點(diǎn)P是AF的中點(diǎn),過點(diǎn)P作PH⊥DG于H,CD=2,CG=1.

(1)如圖1,點(diǎn)D、C、G在同一直線上,點(diǎn)E在BC邊上,求PH的長(zhǎng);

(2)把正方形CEFG繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)E落在AF上時(shí),求CO的長(zhǎng);

②如圖3,當(dāng)DG=時(shí),求PH的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A,C兩點(diǎn),ABx軸于B,CDx軸于D,則四邊形ABCD的面積為

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB=AC,CFABF,BEACE,CFBE交于點(diǎn)D.有下列結(jié)論:

①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③點(diǎn)D在∠BAC的平分線上;④點(diǎn)CAB的中垂線上.

以上結(jié)論正確的有( 。﹤(gè)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如果點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足x+y=xy,那么稱點(diǎn)P為和諧點(diǎn).請(qǐng)寫出一個(gè)和諧點(diǎn)的坐標(biāo):

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