Question

【題目】實驗與探究

(1)在圖①，圖②，圖③中，給出平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標(biāo)，寫出圖①，圖②，圖③中的頂點C的坐標(biāo)，它們分別是________，___________，____________；

(2)在圖④中，給出平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標(biāo)(如圖所示)，求出頂點C的坐標(biāo)(C點坐標(biāo)用含a，b，c，d，e，f的代數(shù)式表示)；

歸納與發(fā)現(xiàn)

(3)通過對圖①，圖②，圖③，圖④的觀察和頂點C的坐標(biāo)的探究，你會發(fā)現(xiàn)：無論平行四邊形ABCD處于直角坐標(biāo)系中哪個位置，當(dāng)其頂點C坐標(biāo)為(m，n)(如圖④)時，則四個頂點的橫坐標(biāo)a，c，m，e之間的等量關(guān)系為___________，縱坐標(biāo)b，d，n，f之間的等量關(guān)系為__________．(不必證明)

Answer 1

【答案】(1) (5，2)，(e＋c，d)，(c＋e－a，d) ；(2) C(e＋c－a，f＋d－b) ；(3) m＋a＝c＋e，n＋b＝d＋f

【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，得出圖2，3中頂點C的坐標(biāo)分別是（e+c，d），（c+e﹣a，d）；

（2）分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A1，B1，C1，D1，分別過A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于點F．在平行四邊形ABCD中，CD=BA，根據(jù)內(nèi)角和定理，利用BB1∥CC1，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依題意得出AF=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．設(shè)C（x，y）．由e﹣x=a﹣c，得x=e+c﹣a．由y﹣f=d﹣b，得y=f+d﹣b．繼而推出點C的坐標(biāo)．

（3）在平行四邊形ABCD中，CD=BA，同理證明△BEA≌△CFD（同（2）證明）．然后推出AF=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．又已知C點的坐標(biāo)為（m，n），e﹣m=a﹣c，故m=e+c﹣a．由n﹣f=d﹣b，得出n=f+d﹣b．

試題解析：解：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，得出圖1、圖2，3中頂點C的坐標(biāo)分別是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．

故答案為：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．

（2）分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A1，B1，C1，D1，分別過A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于點F．

在平行四邊形ABCD中，CD=BA，又∵BB1∥CC1，∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度，∴∠EBA=∠FCD．

在△BEA和△CFD中，∵∠AEB=∠DFC，∠EFA=∠FCD，AB=DC，∴△BEA≌△CFD（AAS），∴AE=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．

設(shè)C（x，y）．由e﹣x=a﹣c，得：x=e+c﹣a．

由y﹣f=d﹣b，得：y=f+d﹣b，∴C（e+c﹣a，f+d﹣b）．

（3）在平行四邊形ABCD中，CD=BA，同理可得△BEA≌△CFD，則AF=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b，∵C點的坐標(biāo)為（m，n），e﹣m=a﹣c，∴m=e+c﹣a．由n﹣f=d﹣b，得：n=f+d﹣b，故答案為：m=c+e﹣a，n=d+f﹣b或m+a=c+e，n+b=d+f．