【題目】如圖:AB是⊙O的直徑,C、G是⊙O上兩點(diǎn),且點(diǎn)C是劣弧AG的中點(diǎn),過點(diǎn)C的直線CD⊥BG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BC,交OD于點(diǎn)F.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若ED=DB,求證:3OF=2DF;
(3)在(2)的條件下,連接AD,若CD=3,求AD的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)見解析(3)
【解析】
(1)如圖1,連接,,,由圓周角定理得到,根據(jù)同圓的半徑相等得到,于是得到,等量代換得到,根據(jù)平行線的判定得到,即可得到結(jié)論;
(2)如圖1,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到,求得,得到,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論;
(3)如圖2,過作于,解直角三角形即可得到結(jié)論.
解:(1)證明:如圖1,連接OC,AC,CG,
∵AC=CG,
,
∴∠ABC=∠CBG,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OCB=∠CBG,
∴OC∥BG,
∵CD⊥BG,
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切線;
(2)解:如圖1,
∵CD⊥BG,
∴∠BDE=90°,
,
,
∴∠E=30°,
∴∠EBD=∠COE=60°,
,
∴OC=OA=AE,
∵OC∥BD,
∴△EOC∽△EBD,
,
∵OC∥BD,
∴△COF∽△BDF,
,
∴3OF=2DF;
(3)解:如圖2,過A作AH⊥DE于H,
∵∠E=30°
∴∠EBD=60°,
,
∵CD=3,
,,,
,
,
∴EH=3,
∴DH=9﹣3=6,
在中,.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,若O為BC邊的中點(diǎn),則必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依據(jù)以上結(jié)論,解決如下問題:如圖,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,點(diǎn)P在以DE為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng),則PF2+PG2的最小值為( )
A. B. C. 34 D. 10
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【題目】(本題滿分8分)如圖,⊙O的直徑AC與弦BD相交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),
∠EAB=∠ADB.
(1)求證:EA是⊙O的切線;
(2)已知點(diǎn)B是EF的中點(diǎn),求證:以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似;
(3)在(2)的條件下,已知AF=4,CF=2,求AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,D、E分別是斜邊AB、直角邊BC上的點(diǎn),把沿著直線DE折疊.
如圖1,當(dāng)折疊后點(diǎn)B和點(diǎn)A重合時(shí),用直尺和圓規(guī)作出直線DE;不寫作法和證明,保留作圖痕跡
如圖2,當(dāng)折疊后點(diǎn)B落在AC邊上點(diǎn)P處,且四邊形PEBD是菱形時(shí),求折痕DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列結(jié)論:①abc>0;②2a+b=0;③若m為任意實(shí)數(shù),則a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,則x1+x2=2.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( 。
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),拋物線與x軸交于點(diǎn)A,C(點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)B,頂點(diǎn)為D.點(diǎn)Q為線段BC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)C).
(1)點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),點(diǎn)E為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的點(diǎn)且位于第一象限,當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí),求面積的最大值;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)的面積最大時(shí),過點(diǎn)E作軸,垂足為N,將線段CN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)N,再將點(diǎn)N向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度.得到點(diǎn)P,點(diǎn)G在拋物線的對(duì)稱軸上,請(qǐng)問在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)H,使點(diǎn)D,P,G,H構(gòu)成菱形.若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)(是常數(shù),)圖象的對(duì)稱軸是直線,其圖象的一部分如圖所示,下列說法中①;②;③當(dāng)時(shí),;④;⑤.正確的結(jié)論有( )
A.①②④B.②③④C.①③⑤D.①②③④⑤
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【題目】某市為了緩解城市交通壓力,決定修建人行天橋,原設(shè)計(jì)天橋的樓梯與地面的夾角為45°(∠ABC=45°),BC=4.2 m,后考慮安全因素,將樓梯角B移到CB的延長(zhǎng)線上點(diǎn)D處,使∠ADC=23°(如圖所示).求BD的長(zhǎng)(精確到0.1 m).(參考數(shù)據(jù):sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,tan 67°≈2.36)
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