【題目】如圖,已知CE是圓O的直徑,點B在圓O上由點E順時針向點C運動(點B不與點E、C重合),弦BDCE于點F,且BD=BC,過點B作弦CD的平行線與CE的延長線交于點A.

(1)若圓O的半徑為2,且點D為弧EC的中點時,求圓心O到弦CD的距離;

(2)當DFDB=CD2時,求∠CBD的大。

(3)若AB=2AE,且CD=12,求△BCD的面積.

【答案】(1);(2)45°;(3)72.

【解析】試題分析:(1)過OOHCDH,根據(jù)垂徑定理求出點O到H的距離即可;

(2)根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),先證明△CDF∽△BDC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解;

(3)連接BE,BO,DO,并延長BO至H點,利用相似三角形的性質(zhì)判定,求得BH的長,然后根據(jù)三角形的面積求解即可.

試題解析:(1)如圖,過OOHCDH,

∵點D為弧EC的中點,

∴弧ED=CD,

∴∠OCH=45°,

OH=CH,

∵圓O的半徑為2,即OC=2,

OH=

(2)∵當DFDB=CD2時,

又∵∠CDF=BDC,

∴△CDF∽△BDC,

∴∠DCF=DBC,

∵∠DCF=45°,

∴∠DBC=45°;

(3)如圖,連接BE,BO,DO,并延長BOH點,

BD=BC,OD=OC,

BH垂直平分CD,

又∵ABCD,

∴∠ABO=90°=EBC,

∴∠ABE=OBC=OCB,

又∵∠A=A,

∴△ABE∽△ACB,

,即AB2=AE×AC,

AC=,

AE=x,則AB=2x,

AC=4x,EC=3x,

OE=OB=OC=,

CD=12,

CH=6,

ABCH,

∴△AOB∽△COH,

,即,

解得x=5,OH=4.5,OB=7.5,

BH=BO+OH=12,

∴△BCD的面積=×12×12=72.

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