Question

如圖，正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F.

（1）求證：△OEF是等腰直角三角形.
（2）若AE=4，CF=3，求EF的長.

Answer 1

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，再結(jié)合DE⊥OF可得∠EOB=∠FOC，即可證得△BEO≌△CFO，從而得到結(jié)論；（2）5

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，再結(jié)合DE⊥OF可得∠EOB=∠FOC，即可證得△BEO≌△CFO，從而得到結(jié)論；
（2）由△BEO≌△CFO可得BE=CF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BF，再根據(jù)勾股定理求解即可.
（1）∵四邊形ABCD為正方形
∴∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°
又∵DE⊥OF
∴∠EOF=90°
∴∠EOB=∠FOC
∴△BEO≌△CFO
∴OE=OF
又∠EOF=90°
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）∵△BEO≌△CFO(已證)
∴BE=CF
又∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BF
在Rt△BEF中，EF²=BE²+BF² =CF²+AE²=3²+4²=5²  
∴EF=5
點(diǎn)評(píng)：全等三角形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考中半徑常見的知識(shí)點(diǎn)，一般難度不大，需熟練掌握.