Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3），反比例函數(shù)y＝（x＞0，k＞0）圖象如圖1所示，反比例函y＝（x＞0，k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（m，n），PM⊥x軸，垂足為M，PN⊥y軸，垂足為N；且OM×ON＝12．（1）求k的值．

（2）確定二次函數(shù)y＝ax（x﹣3）+c（a＜0，0≤x≤3）對稱軸，并計(jì)算當(dāng)a取﹣1時(shí)二次函數(shù)的最大值．（用含有字母c的式子表示）

（3）當(dāng)c＝0時(shí)，計(jì)算拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離．

（4）如圖2，當(dāng)a＝1時(shí)，拋物線y＝ax（x﹣3）+c（a＜0，0≤x≤3）有一時(shí)刻恰好經(jīng)過P點(diǎn)，且此時(shí)拋物線與雙曲線y＝（x＞0，k＞0）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（如圖2所示），我們不妨把此時(shí)刻的c記作c1，請直接寫出拋物線y＝ax（x﹣3）+c（a＜0，0≤x≤3）的圖象與雙曲線y＝（x＞0，k＞0）的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)k＝12；（2 x＝，最大值為+c；（3）3；（4）見解析．

【解析】

（1）由OM×ON=12，則k=OM×ON，即可求解；
（2）y=ax（x-3）+c的對稱軸為x==，當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)y=ax（x-3）+c=-x（x-3）+c，即可求解；
（3）當(dāng)c=0時(shí)，此時(shí)令y=0，則ax（x-3）=0，則a＜0x（x-3）=0，即可求解；
（4）分c＜c1、c=c1、c＞c1、c＞4，四種情況分別求解即可．

解：（1）由OM×ON＝12，則k＝OM×ON＝12；

（2）y＝ax（x﹣3）+c的對稱軸為x＝﹣＝，

當(dāng)a＝﹣1時(shí)，函數(shù)y＝ax（x﹣3）+c＝﹣x（x﹣3）+c，

即y＝﹣x2﹣3x+c＝﹣（x+）2++c；

∴此時(shí)二次函數(shù)y＝﹣x（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3）的最大值為+c；

（3）當(dāng)c＝0時(shí)，二次函數(shù)y＝ax（x﹣3）+c＝ax（x﹣3）（a＜0；0≤x≤3）；

此時(shí)令y＝0，則ax（x﹣3）＝0，∵a＜0x（x﹣3）＝0；

即x＝0或3；

∴二次函數(shù)y＝ax（x﹣3）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（0，0）和（3，0），

則拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為3；

（4）①當(dāng)c＜c1時(shí)，

拋物線y＝﹣x（x﹣3）+c的圖象與雙曲線y＝沒有公共點(diǎn)；

②當(dāng)c＝c1時(shí)，

拋物線y＝﹣x（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3）的圖象與雙曲線y＝有唯一公共點(diǎn)P；

③當(dāng)c＞c1時(shí)，

拋物線向上平移，當(dāng)拋物線右端點(diǎn)正好落在雙曲線上時(shí)，不妨設(shè)此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，c1），c1＝4，

∴當(dāng)c1＜c≤4時(shí)，拋物線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；

④當(dāng)c＞4時(shí)，拋物線y＝﹣x（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3）的圖象和雙曲線始終有一個(gè)公共點(diǎn)；

所以當(dāng)c＝c1時(shí)，c＞4時(shí)，拋物線y＝﹣x（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3）的圖象和雙曲線始終有一個(gè)公共點(diǎn)．