Question

以AB為直徑作半圓O，AB=10，點(diǎn)C是該半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，并延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使DC=BC，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E、交AC于點(diǎn)F，連接OF．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，求∠BAC的度數(shù)；
（2）如圖②，當(dāng)DE=8時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；
（3）在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)E始終在線段AB上，是否存在以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段OE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OC．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)可得△OBC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余即可得到∠BAC的度數(shù)；
（2）連接DA．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AB=AD=10，根據(jù)勾股定理和線段的和差關(guān)系可得AE和BE的長(zhǎng)，通過AA證明△AEF∽△DEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到EF的長(zhǎng)；
（3）分兩種情況：①當(dāng)交點(diǎn)E在O、A之間時(shí)；②當(dāng)交點(diǎn)E在O、B之間時(shí)；討論即可求得線段OE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接OC．
∵C為DB中點(diǎn)，
∴OC=BC=OB，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°；

（2）連接DA．
∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD=10，
∵DE=8，DE⊥AB，
∴AE=6，
∴BE=4，
∵∠FAE+∠AFE=90°，∠CFD+∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠EAF，
∵∠AEF=∠DEB=90°，
∴△AEF∽△DEB，
∴

EF

EB

=

AE

DE

，
∴EF=3；

（3）①當(dāng)交點(diǎn)E在O、A之間時(shí)，
若∠EOF=∠BAC，此時(shí)

OE

AC

=

EF

BC

，則OE=

5

3

；
若∠EOF=∠ABC，此時(shí)

OE

BC

=

EF

AC

，則OE=

5

2

；
②當(dāng)交點(diǎn)E在O、B之間時(shí)，OE=

-15+5 17

4

．
綜上所述，OE=

5

2

或

5

3

或

-15+5 17

4

．

點(diǎn)評(píng)：考查了圓的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．