Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓O，交斜邊AC于點D．
（1）若AD=3，AB=5，求BC的長；
（2）取BC的中點E，連接ED，試證明ED與⊙O相切．

Answer 1

分析：（1）連接BD，根據(jù)AB為直徑即可證明∠ADB=∠ABC=90°，證明△DAB∽△BAC，根據(jù)相似三角形對應邊的比相等即可求解；
（2）證明ED與⊙O相切，即可連接OD證明OD⊥DE即可．

解答：（1）解：連接BD
方法一：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，（1分）
∵AD=3，AB=5，
∴BD=4，（2分）
在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

BD

=

3

4

，
又∵∠ABD=∠ACB，
tan∠ACB=

3

4

=

AB

BC

，（3分）
∴BC=

4•AB

3

=

20

3

，（4分）
方法二：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，（1分）
∵∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠DAB=∠BAC，
∴△DAB∽△BAC，（2分）
∴

AD

AB

=

BD

BC

，
∴

AD

AB

=

BD

BC

，
∴

3

5

=

4

BC

，
∴BC=

20

3

；（4分）

（2）證明：
方法一：連接OD，
∵∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵點E是BC的中點，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，（5分）
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，（6分）
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，（7分）
即OD⊥ED，（8分）
∴ED與⊙O相切．（9分）
方法二：連接OE，OD，
∵是BC的中點，∠BDC=90°，
∴DE=BE，（5分）
又∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE，（6分）
∴∠ODE=∠OBE=90°，（7分）
即OD⊥ED，（8分）
∵D在⊙O上，
∴ED與⊙O相切．（9分）

點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及切線的判定，切線的判定常用的方法是利用切線的判定定理轉(zhuǎn)化為證明垂直的問題．