【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,直線x軸、y軸分別相交于AB兩點(diǎn).

(1)求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若有一拋物線的對(duì)稱軸平行于y軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,頂點(diǎn)C在圓M上,開(kāi)口向下,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,求此拋物線的函數(shù)解析式;

(3)設(shè)(2)中的拋物線交軸于D、E兩點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得S△PDE=S△ABC?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)A(﹣8,0),B(0,﹣6);(2);(3)存在.P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4+,-1)或(﹣4﹣,-1)或(﹣4+,1)或(﹣4﹣,1)時(shí),使得

【解析】分析:(1)令已知的直線的解析式中x=0,可求出B點(diǎn)坐標(biāo),令y=0,可求出A點(diǎn)坐標(biāo);(2)根據(jù)A、B的坐標(biāo)易得到M點(diǎn)坐標(biāo),若拋物線的頂點(diǎn)C在⊙M上,那么C點(diǎn)必為拋物線對(duì)稱軸與⊙O的交點(diǎn);根據(jù)A、B的坐標(biāo)可求出AB的長(zhǎng),進(jìn)而可得到⊙M的半徑及C點(diǎn)的坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求解即可;

3)在(2)中已經(jīng)求得了C點(diǎn)坐標(biāo),即可得到ACBC的長(zhǎng);由圓周角定理:

ACB=90°,所以此題可根據(jù)兩直角三角形的對(duì)應(yīng)直角邊的不同來(lái)求出不同的P點(diǎn)坐標(biāo).

本題解析:1)對(duì)于直線,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),

所以A(﹣8,0),B(0,﹣6);

(2)在Rt△AOB中,AB==10,∵∠AOB=90°,∴AB為⊙M的直徑,

∴點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),M(﹣4,﹣3),∵M(jìn)C∥y軸,MC=5,∴C(﹣4,2),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)+2,

把B(0,﹣6)代入得16a+2=﹣6,解得a= ,

∴拋物線的解析式為 ,即;

(3)存在.

當(dāng)y=0時(shí), ,解得x,=﹣2,x,=﹣6,

∴D(﹣6,0),E(﹣2,0),

,

設(shè)P(t, -6),

=20,

即||=1,當(dāng)=-1,

解得, ,

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4+,-1)或(﹣4﹣,-1);

當(dāng)時(shí) ,解得=﹣4+, =﹣4﹣;

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4+,1)或(﹣4﹣,1).

綜上所述,P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4+,-1)或(﹣4﹣,-1)或(﹣4+,1)或(﹣4﹣,1)時(shí),使得

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