Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AM=BN=1，連接CM、ND，過(guò)點(diǎn)M作MF∥ND與∠EAD的平分線交于點(diǎn)F，連接CF分別與AD、ND交于點(diǎn)G、H，連接MH，則下列結(jié)論正確的有（ ）個(gè)

①MC⊥ND；②sin∠MFC=；③(BM+DG)=AM+AG；④S△HMF=

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①設(shè)MC與DN交點(diǎn)是P，通過(guò)證明△MBC≌△NCD得到∠PNC=∠CMB，又證明則∠PNC +∠PCN =90°求出∠NPC=90°，則MC⊥ND，即可得到答案.

故①MC⊥ND正確.

②延長(zhǎng)AE，作FQ⊥AF于點(diǎn)Q，利用勾股定理求出MC=5，再通過(guò)△MBC∽△FQM得到即，又因?yàn)?/span>QA=QF，則可以求得QA=QF =3，進(jìn)而求得，在Rt△FMC中，利用勾股定理得則可以求得sin∠MFC的值.

③設(shè)(BM+DG)=AM+AG存在，利用邊與邊的關(guān)系可以求出DG，符合題意，即可求出答案.

④作HI⊥MF于點(diǎn)I,先證△CPN∽△CBM，求出PC，MP=MC-PC=5-，再通過(guò)證

四邊形MPHI是矩形，求得IH= MP，知道△HMF的底和高，即可求出答案.

(1)

設(shè)MC與ND交于點(diǎn)P，如圖所示.

∵四邊形ABCD是正方形

∴CD=BC=AB=4

∠MBC=∠NCD=90°

∵AM=BN=1

∴NC=BC-BN=4-1=3

MB=AB-AM=4-1=3

∴NC=MB

在△MBC與△NCD中，

∴△MBC≌△NCD

∴∠PNC=∠CMB

∵∠MBC =90°

∴∠CMB+∠PCN =90°

則∠PNC +∠PCN =90°

∴∠NPC=180°-（∠PNC +∠PCN）=90°

∴MC⊥ND

故①MC⊥ND正確.

（2）

延長(zhǎng)AE，作FQ⊥AF于點(diǎn)Q

∵MB=3,BC=4.∠B=90°

∴在Rt△MBC中，利用勾股定理得

∠BCM+∠BMC =90°

∵MC⊥ND，MF∥ND

∴∠FMC=90°

∴∠QMF+∠BMC=180°-∠FMC=90°

∴∠QMF=∠BCM

∵FQ⊥AF

∠B=90°

∴∠FQM=∠B

∴△MBC∽△FQM

∴即

∵四邊形ABCD是正方形，AF平分∠QAG

∴∠QAF=

又∵∠FQM=90°

∴∠QFA=∠QAF

∴QA=QF

∴變形為解得QA=QF =3

∴QM=QA+AM=4

∴在Rt△QMF中，利用勾股定理得

∴在Rt△FMC中，利用勾股定理得

∴sin∠MFC=故②正確

（3）設(shè)(BM+DG)=AM+AG存在

由上述可知BM=3,AM=1,AG=AD-GD=4-DG，

將其代入(BM+DG)=AM+AG

得：(3+DG)=1+（4-DG）

解得DG=，符合題意，故③正確.

（4）

作HI⊥MF于點(diǎn)I

∵∠PCN=∠PCN，∠NPC=∠B=90°

∴△CPN∽△CBM

∴則即

解得

∴MP=MC-PC=5-

∵∠IMP=∠MPH=∠MIH=90°

∴四邊形MPHI是矩形

∴IH= MP

∴S△HMF=故④正確

綜上所述四項(xiàng)全部正確，答案選D