【題目】如圖,AB為△ABC外接圓⊙O的直徑,點P是線段CA延長線上一點,點E在圓上且滿足PE2=PAPC,連接CE,AE,OE,OE交CA于點D.
(1)求證:△PAE∽△PEC;
(2)求證:PE為⊙O的切線;
(3)若∠B=30°,AP= AC,求證:DO=DP.
【答案】
(1)解:∵PE2=PAPC,
∴ ,
∵∠APE=∠EPC,
∴△PAE∽△PEC
(2)解:如圖1,
連接BE,
∴∠OBE=∠OEB,
∵∠OBE=∠PCE,
∴∠OEB=∠PCE,
∵△PAE∽△PEC,
∴∠PEA=∠PCE,
∴∠PEA=∠OEB,
∵AB為直徑,
∴∠AEB=90°,
∴∠OEB+∠OEA=90°,
∵∠PEA+∠OEA=90°,
∴∠OEP=90°,
∵點E在⊙O上,
∴PE是⊙O的切線
(3)解:如圖,
過點O作OM⊥AC于M,
∴AM= AC,
∵BC⊥AC,
∴OM∥BC,
∵∠ABC=30°,
∴∠AOM=30°,
∴OM= AM= AC,
∵AP= AC,
∴OM= AP,
∵PC=AC+AP=2AP+AP=3AP,
∴PE2=PA×PC=PA×3PA,
∴PE= PA,
∴OM=PE,
∵∠PED=∠OMD=90°,∠ODM=∠PDE,
∴△ODM≌△PDE,
∴OD=DP
【解析】(1)利用兩邊對應成比例,夾角相等,兩三角形相似即可;(2)連接BE,轉(zhuǎn)化出∠OEB=∠PCE,又由相似得出∠PEA=∠PCE,從而用直徑所對的圓周角是直角,轉(zhuǎn)化出∠OEP=90°即可;(3)構(gòu)造全等三角形,先找出OD與PA的關(guān)系,再用等積式找出PE與PA的關(guān)系,從而判斷出OM=PE,得出△ODM≌△PDE即可.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)經(jīng)過點(﹣1,0),(m,0),且1<m<2,當x<﹣1時,y隨x增大而減小,下列結(jié)論: ①abc>0;
②a+b<0;
③若點A(﹣3,y1),B(3,y2)在拋物線上,則y1<y2;
④a(m﹣1)+b=0;
⑤c≤﹣1時,則b2﹣4ac≤4a.
其中結(jié)論正確的有 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在數(shù)學課上,老師提出如下問題:
尺規(guī)作圖:作對角線等于已知線段的菱形.
已知:兩條線段、.
求作:菱形,使得其對角線分別等于和.
小軍的作法如下:
如圖
()畫一條線段等于.
()分別以、為圓心,大于的長為半徑,在線段的上下各作兩條弧,兩弧相交于、兩點.
()作直線交于點.
()以點為圓心,線段的長為半徑作兩條弧,交直線于、兩點,連接、、、.
所以四邊形就是所求的菱形.
老師說:“小軍的作法正確”.
該作圖的依據(jù)是__________和___________.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與邊BC,AC分別交于D,E兩點,過點D作DH⊥AC于點H.
(1)判斷DH與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求證:H為CE的中點;
(3)若BC=10,cosC= ,求AE的長.
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【題目】如圖,在邊長為a的正方形上剪去一個邊長為b的小正方形(a>b),把剩下的部分剪拼成一個梯形,分別計算這兩個圖形陰影部分的面積,由此可以驗證的等式是( )
A. a2-b2=(a+b)(a-b) B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a-b)2=a2-2ab+b2 D. a2-ab=a(a-b)
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【題目】一只跳蚤在一數(shù)軸上從原點開始,第1次向右跳1個單位長度,緊接著第2次向左跳2個單位長度,第3次向右跳3個單位長度,第4次向左跳4個單位長度,…,依此規(guī)律跳下去,當它跳第100次落下時,所在位置表示的數(shù)是( )
A. 50 B. -50 C. 100 D. -100
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【題目】如圖,O是直線AB上一點,OD平分∠AOC,∠DOE=90°,則以下結(jié)論正確的個數(shù)是( )
①∠AOD與∠BOE互為余角;②∠AOD=∠COE;③∠BOE=∠COE;④∠DOC與∠DOB互補.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】模型與應用.
(模型)
(1)如圖①,已知AB∥CD,求證∠1+∠MEN+∠2=360°.
(應用)
(2)如圖②,已知AB∥CD,則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)為 .
如圖③,已知AB∥CD,則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度數(shù)為 .
(3)如圖④,已知AB∥CD,∠AM1M2的角平分線M1 O與∠CMnMn-1的角平分線MnO交于點O,若∠M1OMn=m°.
在(2)的基礎(chǔ)上,求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n-1的度數(shù).(用含m、n的代數(shù)式表示)
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