Question

【題目】如圖1，已知，，且，．

（1）求證：；

（2）如圖2，若，，折疊紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，且．

①求證：；

②點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少多少秒？

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解；②.

【解析】

（1）直接利用AAS，即可證明結(jié)論成立；

（2）①由折疊的性質(zhì)，得到BE=DE，EF平分∠BED，由DE⊥BC，得到∠DBE=∠ACB=∠FEB=45°，即可得到EF∥AC；

②當(dāng)點(diǎn)Q是EF與BD的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少；連接AQ、AD，可得△ADQ是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出BD，然后得到BQ=DQ=，然后求出AQ，即可求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間.

解：（1）由題意，

∵，，BC=CB，

∴（AAS）；

（2）①如圖：

由折疊的性質(zhì)，得到BE=DE，∠BEF=∠DEF，

∵DE⊥BC，

∴∠BED=90°，

∴∠BEF=∠DEF=∠DBE=∠BDE=45°；

∵，

∴∠ACB=∠DBE，

∴∠ACB=∠DBE=∠FEB=45°，

∴EF∥AC；

②如圖，連接AQ交BC于點(diǎn)H，連接AD，當(dāng)點(diǎn)Q是EF與BD的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少；

此時(shí)AQ∥DE，AD∥BC，

∴∠ADQ=45°，∠DAQ=90°，

∴△ADQ是等腰直角三角形，

∴AD=AQ，

∵點(diǎn)Q時(shí)BD中點(diǎn)，

∴點(diǎn)H是BE的中點(diǎn)，

∵BE=DE=，，

∴，

∴，，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間為：

（秒）.