【題目】如圖1,AB為半圓O的直徑,D為BA的延長線上一點(diǎn),DC為半圓O的切線,切點(diǎn)為C.

(1)求證:∠ACD=∠B;

(2)如圖2,∠BDC的平分線分別交AC,BC于點(diǎn)E,F(xiàn);

①求tan∠CFE的值;

②若AC=3,BC=4,求CE的長.

【答案】(1)詳見解析;(2).

【解析】

試題分析:(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角及等角的余角相等即可證明結(jié)論.

(2)CEF=ECD+CDE,CFE=B+FDB,CDE=FDB,ECD=B,即可得CEF=CF,再由ECF=90°,可得CEF=CFE=45°,即可得結(jié)論.

由勾股定理可求得AB=5,根據(jù)已知易證DCA∽△DBC,得,設(shè)DC=3k,DB=4k,由CD2=DADB,得9k2=(4k5)4k,由此求出DC,DB,再由DCE∽△DBF,得,設(shè)EC=CF=x,列出方程即可解決問題.

試題解析:(1)證明:如圖1中,連接OC.

OA=OC,

∴∠1=2,

CD是O切線,

OCCD,

∴∠DCO=90°

∴∠3+2=90°,

AB是直徑,

∴∠1+B=90°,

∴∠3=B.

(2)解:①∵∠CEF=ECD+CDE,CFE=B+FDB,

∵∠CDE=FDB,ECD=B,

∴∠CEF=CFE,∵∠ECF=90°,

∴∠CEF=CFE=45°

tanCFE=tan45°=1.

在RTABC中,AC=3,BC=4,

由勾股定理得AB=5,

∵∠CDA=BDC,DCA=B,

∴△DCA∽△DBC,

,設(shè)DC=3k,DB=4k,

CD2=DADB,

9k2=(4k5)4k,

k=

CD=,DB=,

∵∠CDE=BDF,DCE=B,

∴△DCE∽△DBF,

,設(shè)EC=CF=x,

x=

CE=

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(1)如果小麗一開始想的那個(gè)數(shù)是5,請列式并計(jì)算結(jié)果;

(2)如果小麗一開始想的那個(gè)數(shù)是,請列式并計(jì)算結(jié)果;

(3)根據(jù)(1)、(2),嘗試寫出一個(gè)結(jié)論.

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