【題目】如圖,在四邊形ABCD中,ADBCEBC的中點,BC2AD,EAEDACED相交于點F.

(1)求證:四邊形AECD是平行四邊形;

(2)試探究AB、CD之間的數(shù)量關系,并證明你的結論;

(3)ABAC具有什么位置關系時,四邊形AECD是菱形?請說明理由;若EAED2,求此時菱形AECD的面積.

【答案】1)詳見解析;(2)詳見解析;(32

【解析】

根據(jù)已知條件,只要證明:AD=ECADEC即可.

根據(jù)已知條件,想辦法證明:AB=DE,CD=DE即可.

假定四邊形AECD為菱形時,根據(jù)菱形對角線知:ACED,又EDAB,故猜想ABAC時,四邊形AECD為菱形;求面積時由菱形面積公式:對角線乘積的一半即可求解.

解:(1)EBC的中點,∴BEECBC,

BC2AD,即AD=

ADBE=EC,又∵ADEC,

∴四邊形AECD是平行四邊形.

(2)(1)知:四邊形AECD是平行四邊形.

AECD

又由已知有:AEED,∴EDCD……

ADBE,ADBE,

∴四邊形ABED是平行四邊形,

ABED……

結合①②可知

ABCD.

ABCD的數(shù)量關系為:AB=CD.

(3)ABAC時,四邊形AECD是菱形.

理由如下:∵四邊形ABED是平行四邊形,

ABDE

ABAC,∴EDAC,

∵四邊形AECD是平行四邊形,

∴四邊形AECD是菱形.

AEDE2,

EFDF1,

RtAFE中,AFAC2AF

.

故菱形AECD的面積為

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