【題目】如圖,已知在中,是邊上一點,,是的外接圓,是的直徑,且交于點.
(1)求證:是的切線;
(2)過點作,垂足為點,延長交于點,若,求的長;
(3)在滿足(2)的條件下,若,,求的半徑及的值.
【答案】(1)見解析;(2)AC=;(3)sin∠ACE=.
【解析】
(1)根據(jù)圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進而得出答案;
(2)首先得出△CAG∽△BAC,進而得出AC2=AGAB,求出AC即可;
(3)先求出AF的長,根據(jù)勾股定理得:AG=,即可得出sin∠ADB的值,利用∠ACE=∠ACB=∠ADB,求出即可.
解:(1)證明:連接CD,
∵AD是⊙O的直徑,
∴∠ACD=90°,
∴∠CAD+∠ADC=90°,
又∵∠PAC=∠PBA,∠ADC=∠PBA,
∴∠PAC=∠ADC,
∴∠CAD+∠PAC=90°,即∠PAD=90°,
∴PA⊥OA.
又∵AD是⊙O的直徑,
∴PA是⊙O的切線;
(2)由(1)知,PA⊥AD,
又∵CF⊥AD,
∴CF∥PA,
∴∠GCA=∠PAC,
又∵∠PAC=∠PBA,
∴∠GCA=∠PBA,
又∵∠CAG=∠BAC,
∴△CAG∽△BAC,
∴,即AC2=AGAB,
∵AGAB=48,
∴AC2=48.
∴AC=.
(3)設(shè)AF=x,
∵AF:FD=1:2,
∴FD=2x.
∴AD=AF+FD=3x.
在Rt△ACD中,
∵CF⊥AD,
由射影定理得:AC2=AFAD,
即3x2=48.
解得;x=4.
∴AF=4,AD=12.
∴⊙O半徑為6.
在Rt△AFG中,∵AF=4,GF=2,
∴根據(jù)勾股定理得:AG=,
由(2)知,AGAB=48,
∴AB=,
連接BD,∵AD是⊙O的直徑,
∴∠ABD=90°.
在Rt△ABD中,
∵sin∠ADB=,AD=12,AB=,
∴sin∠ADB=.
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB,
∴sin∠ACE=.
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【題目】拋物線與直線交于兩點,且兩點之間的拋物線上總有兩個縱坐標(biāo)相等的點.
(1)求證:;
(2)過作軸的垂線,交直線于,,且當(dāng),,三點共線時,軸.
①求的值:
②對于每個給定的實數(shù),以為直徑的圓與直線總有公共點,求的范圍.
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【題目】在數(shù)學(xué)活動課上,王老師出示一道數(shù)學(xué)題目:“在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)為何值時,拋物線與直線段有唯一公共點或有兩個公共點?”某學(xué)習(xí)小組經(jīng)探究得到以下四個結(jié)論:
①當(dāng)時,有唯一公共點;
②若為整數(shù),則僅當(dāng)的值為4或5或6或7時,才有唯一公共點;
③若為整數(shù),則當(dāng)的值為1或2或3時,有兩個公共點;
④當(dāng)時,有兩個公共點.其中正確的結(jié)論有( )
A.①②④B.①②③C.①③D.①④
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點坐標(biāo)為,點在軸的負(fù)半軸上,點、均在線段上,且,點的橫坐標(biāo)為.在中,若軸,軸,則稱為點、的“榕樹三角形”.
(1)若點坐標(biāo)為,且,則點、的“榕樹三角形”的面積為 .
(2)當(dāng)點、的“榕樹三角形”是等腰三角形時,求點的坐標(biāo).
(3)在(2)的條件下,作過、、三點的拋物線.
①若點必為拋物線上一點,求點、的“榕樹三角形”面積與之間的函數(shù)關(guān)系式.
②當(dāng)點、的“榕樹三角形”面積2,且拋物線與點、的“榕樹三角形”恰有兩個交點時,直接寫出的取值范圍.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AD>AB,連接AC,將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段AE,平移線段AE得到線段DF(點A與點D對應(yīng),點E與點F對應(yīng)),連接BF,分別交直線AD,AC于點G,M,連接EF.
(1) 依題意補全圖形;
(2) 求證:EG⊥AD;
(3) 連接EC,交BF于點N,若AB=2,BC=4,設(shè)MB=a,NF=b,試比較與之間的大小關(guān)系,并證明.
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【題目】新能源汽車環(huán)保節(jié)能,越來越受到消費者的喜愛.各種品牌相繼投放市場.一汽貿(mào)公司經(jīng)銷某品牌新能源汽車.去年銷售總額為5000萬元,今年1~5月份,每輛車的銷售價格比去年降低1萬元.銷售數(shù)量與去年一整年的相同.銷售總額比去年一整年的少20%,今年1~5月份每輛車的銷售價格是多少萬元?設(shè)今年1~5月份每輛車的銷售價格為x萬元.根據(jù)題意,列方程正確的是( )
A. B.
C. D.
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【題目】如圖,已知點在反比例函數(shù)的圖象上,過點作軸,垂足為,直線經(jīng)過點,與軸交于點,且,.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式;
(2)直接寫出關(guān)于的不等式的解集.
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【題目】如圖1,矩形的一條邊長為x,周長的一半為y,定義(x,y)為這個矩形的坐標(biāo)。如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,直線x=1,y=3將第一象限劃分成4個區(qū)域,已知矩形1的坐標(biāo)的對應(yīng)點A落在如圖所示的雙曲線上,矩形2的坐標(biāo)的對應(yīng)點落在區(qū)域④中,則下面敘述中正確的是( )
A. 點A的橫坐標(biāo)有可能大于3
B. 矩形1是正方形時,點A位于區(qū)域②
C. 當(dāng)點A沿雙曲線向上移動時,矩形1的面積減小
D. 當(dāng)點A位于區(qū)域①時,矩形1可能和矩形2全等
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【題目】某班男生分成甲、乙兩組進行引體向上的專項訓(xùn)練,已知甲組有名男生,并對兩組男生訓(xùn)練前、后引體向上的個數(shù)進行統(tǒng)計分析,得到乙組男生訓(xùn)練前、后引體向上的平均個數(shù)分別是個和個,及下面不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.
甲組男生訓(xùn)練前、后引體向上個數(shù)統(tǒng)計表(單位:個)
甲組 | 男生 | 男生 | 男生 | 男生 | 男生 | 男生 | 平均個數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) |
訓(xùn)練前 | |||||||||
訓(xùn)練后 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1) , , ;
(2)甲組訓(xùn)練后引體向上的平均個數(shù)比訓(xùn)練前增長了 ;
(3)你認(rèn)為哪組訓(xùn)練效果好?并提供一個支持你觀點的理由;
(4)小華說他發(fā)現(xiàn)了一個錯誤:“乙組訓(xùn)練后引體向上個數(shù)不變的人數(shù)占該組人數(shù)的,所以乙組的平均個數(shù)不可能提高個這么多.”你同意他的觀點嗎?說明理由.
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