Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+2x+6（a≠0）交x軸與A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），將直尺WXYZ與x軸負(fù)方向成45°放置，邊WZ經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)C（4，m），與拋物線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D，直尺被x軸截得的線段EF=2，且△CEF的面積為6．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）探究：在直線AC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△ACP的面積最大？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）將直尺以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向左平移，設(shè)平移的時(shí)間為t秒，平移后的直尺為W′X′Y′Z′，其中邊X′Y′所在的直線與x軸交于點(diǎn)M，與拋物線的其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，可使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）=﹣x2+2x+6；（2）在直線AC上方的拋物線上存在一點(diǎn)P，使得△ACP的面積最大，面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）；（3）當(dāng)t為4﹣或4+秒時(shí)，可使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式求出m的值，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出a值，從而得出結(jié)論；（2）假設(shè)存在．過點(diǎn)P作y軸的平行線，交x軸與點(diǎn)M，交直線AC于點(diǎn)N．根據(jù)拋物線的解析式找出點(diǎn)A的坐標(biāo)．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣n2+2n+6）（﹣2＜n＜4），由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，代入x=n，即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可得出S△ACP關(guān)于n的一元二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（3）根據(jù)直尺的擺放方式可設(shè)出直線CD的解析式為y=﹣x+c，由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出直線CD的解析式，聯(lián)立直線CD的解析式與拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，令直線CD的解析式中y=0，求出x值即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合線段EF的長度即可找出點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)以及C、D點(diǎn)坐標(biāo)的坐標(biāo)即可找出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再由點(diǎn)N在拋物線圖象上，將其代入拋物線解析式即可得出關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

試題解析：解：（1）∵S△CEF=EFyC=×2m=6，

∴m=6，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，6），

將點(diǎn)C（4，6）代入拋物線y=ax2+2x+6（a≠0）中，

得：6=16a+8+6，解得：a=﹣，

∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+6．

（2）假設(shè)存在．過點(diǎn)P作y軸的平行線，交x軸與點(diǎn)M，交直線AC于點(diǎn)N，如圖1所示．

令拋物線y=﹣x2+2x+6中y=0，則有﹣x2+2x+6=0，

解得：x1=﹣2，x2=6，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣n2+2n+6）（﹣2＜n＜4），

∵直線AC過點(diǎn)A（﹣2，0）、C（4，6），

∴，解得：，

∴直線AC的解析式為y=x+2．

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣n2+2n+6），

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，n+2）．

∵S△ACP=PN（xC﹣xA）=×（﹣n2+2n+6﹣n﹣2）×[4﹣（﹣2）]=﹣（n﹣1）2+，

∴當(dāng)n=1時(shí)，S△ACP取最大值，最大值為，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）．

∴在直線AC上方的拋物線上存在一點(diǎn)P，使得△ACP的面積最大，面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）．

（3）∵直尺WXYZ與x軸負(fù)方向成45°放置，

∴設(shè)直線CD的解析式為y=﹣x+c，

∵點(diǎn)C（4，6）在直線CD上，

∴6=﹣4+c，解得：c=10，

∴直線CD的解析式為y=﹣x+10．

聯(lián)立直線CD與拋物線解析式成方程組：，

解得：，或，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8）．

令直線CD的解析式y(tǒng)=﹣x+10中y=0，則0=﹣x+10，

解得：x=10，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，0），

∵EF=2，且點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（12，0）．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（12﹣2t，0），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（12﹣2t﹣2，0+2），即N（10﹣2t，2）．

∵點(diǎn)N（10﹣2t，2）在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上，

∴﹣（10﹣2t）2+2（10﹣2t）+6=2，整理得：t2﹣8t+13=0，

解得：t1=4﹣，t2=4+．

∴當(dāng)t為4﹣或4+秒時(shí)，可使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．