Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（）這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為____________．

（）設(shè)直線的解析式為，則不等式的解集為___________．

（）連結(jié)、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（）當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積．

（）若把條件“點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．”改為“點(diǎn)是拋物線上的任一動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為梯形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x≤0或x≥3；（3）；（4）當(dāng)P（，）時(shí)，S四邊形ABPC最大；（5）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－2，5），（2，－3）或（4，5）．

【解析】試題分析：（1）直接設(shè)成頂點(diǎn)式即可得出拋物線解析式；

（2）先確定出點(diǎn)B，C坐標(biāo)，再根據(jù)圖象直接寫出范圍；

（3）利用菱形的性質(zhì)得出PO=PC即可得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可得出結(jié)論；

（4）先利用坐標(biāo)系中幾何圖形的面積的計(jì)算方法建立函數(shù)關(guān)系式即可求出面積的最大值；

（5）先求出直線BC，BC，CD的解析式，分三種情況利用梯形的性質(zhì)，一組對(duì)邊平行即可得出直線DP1，CP2，BP3的解析式，分別聯(lián)立拋物線的解析式建立方程組求解即可．

試題解析：解：（1）∵點(diǎn)D（1，﹣4）是拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)，∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）令x=0，∴y=﹣3，∴C（0，﹣3），令y=0，∴x2﹣2x﹣3=0，∴x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴不等式x2+bx+c≥kx+m的解集為x＜0或＞3．故答案為：x＜0或＞3；

（3）如圖1．∵四邊形POP′C為菱形，∴PO=PC．∵C（0，﹣3），∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣．∵P在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣=x2﹣2x﹣3，∴x=或x=（舍），∴P（．﹣）；

（4）如圖2，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴直線BC的解析式為y=x﹣3，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交BC于E，設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），（0＜m＜3）

∴E（m，m﹣3），∴PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCE+S△PBE=ABOC+PE|xP|+PE|xB﹣xP|

=ABOC+PE（|xP|+|xB﹣xP|）=×4×3+（﹣m2+3m）×（m+3﹣m）

=6+×（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+

當(dāng)m=時(shí)，S四邊形ABPC最大=．

當(dāng)m=時(shí)，m2﹣2m﹣3=，∴P（，）．

（5）如圖，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴直線BC的解析式為y=x﹣3，直線BD的解析式為y=2x﹣6，直線CD的解析式為y=﹣x﹣3．∵以P、C、D、B為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3①；

①當(dāng)DP1∥BC時(shí)，∴直線DP1的解析式為y=x﹣5②，聯(lián)立①②解得，點(diǎn)P1（2，﹣3），[另一個(gè)點(diǎn)為（1，﹣4）和點(diǎn)D重合，舍去]

②當(dāng)CP2∥BD時(shí)，∴直線CP2的解析式為y=2x﹣3③，聯(lián)立①③解得點(diǎn)P2（4，5）

③當(dāng)BP3∥CD時(shí)，∴直線BP3∥CD的解析式為y=﹣x+3④，聯(lián)立①④解得點(diǎn)P3（﹣2，5）．

綜上所述：以P、C、D、B為頂點(diǎn)的四邊形為梯形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，5）、（2，﹣3）或（4，5）．