Question

【題目】已知拋物線 (a、b、c是常數，)的對稱軸為直線．

(1) b=______；(用含a的代數式表示)

(2)當時，若關于x的方程在的范圍內有解，求c的取值范圍；

(3)若拋物線過點(，)，當時，拋物線上的點到x軸距離的最大值為4，求a的值．

Answer 1

【答案】(1)4a;(2)見解析;(3) 或.

【解析】分析：（1）由拋物線對稱軸方程可以求解；

（2）當a = -1時, 拋物線y= x2 +4x=（x+2）2 -4與直線y = c在-3 <x<1的范圍內有交點. 故可得-4≤ c< 5；

（3）由拋物線的對稱性結合拋物線上的點到x軸距離的最大值為4可求解.

詳解：（1）∵拋物線 (a、b、c是常數，)的對稱軸為直線，

∴，

∴b=4a ；

（2）當a = -1時,∵關于x的方程在-3< x <1的范圍內有解，即關于x 的方程x2+4x -c=0在-3< x <1的范圍內有解，

∴b2 -4ac =16+4c ≥0,即c ≥ -4.

∴拋物線y= x2 +4x=（x+2）2 -4與直線y = c在-3 <x<1的范圍內有交點.

當x= -2時，y= -4，當x=1時，y= 5.

故可得： -4≤ c< 5.

（3）∵拋物線y=ax2+4ax+c過點（-2，-2），

∴c = 4a -2.

∴拋物線解析式為：.

① 當a > 0時，拋物線開口向上.

∵拋物線對稱軸為x=-2.

∴當-1≤x≤0時,y隨x增大而增大.

∵拋物線上的點到x軸距離的最大值為4，

由圖像可知：4a -2=4.

∴.

② 當a < 0時，拋物線開口向下.

∵拋物線對稱軸為x=-2.

∴當-1≤x≤0時,y隨x增大而減小.

∵拋物線上的點到x軸距離的最大值為4，

由圖像可知：4a -2= -4.

∴.

綜上所述: .