Question

【題目】二次函數(shù)y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．

（1）求該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程；

（2）過(guò)動(dòng)點(diǎn)C（0，n）作直線l⊥y軸．

①當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求n與m的函數(shù)關(guān)系；

②若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象．當(dāng)n＝7時(shí)，直線l與新的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，求此時(shí)m的值；

（3）若對(duì)于每一個(gè)給定的x的值，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都不小于1，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝1；（2）①n＝﹣2m+3，②m＝5；（3）m的取值范圍是﹣2＜m≤1．

【解析】

（1）將拋物線解析式配方成頂點(diǎn)式即可得；
（2）①畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，由圖象知直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)式時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此可得；
②畫(huà)出翻折后函數(shù)圖象，由直線l與新的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)可得-2m+3=-7，解之可得；
（3）由開(kāi)口向上及函數(shù)值都不小于1可得，解之即可．

（1）∵y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5＝（m+2）（x﹣1）2﹣2m+3，

∴對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝1．

（2）①如圖，由題意知直線l的解析式為y＝n，

∵直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴n＝﹣2m+3．

②依題可知：當(dāng)﹣2m+3＝﹣7時(shí)，直線l與新的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)．

∴m＝5．

（3）拋物線y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，﹣2m+3）．

依題可得 ，

解得.

∴m的取值范圍是﹣2＜m≤1．