【題目】(本題滿分12分)如圖,Rt中, , ,點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn),點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).連結(jié),過點(diǎn)的垂線與邊交于點(diǎn),以為鄰邊作矩形

1)如圖1,當(dāng),點(diǎn)在邊上時(shí),求DEEF的長;

2)如圖2,若,設(shè),矩形的面積為,求y關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;

3)若,且點(diǎn)恰好落在Rt的邊上,求的長.

【答案】1; ;(2;(3912.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)相似三角形的判定定理得到ADE∽△ACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DEBG,求出EF;

2)作DHACH,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

(3)根據(jù)點(diǎn)G在邊BC上和點(diǎn)G在邊AB上兩種情況,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答.

解:(1∵∠ACB=90°,BC=6,AC=8,

AB= =10,

D為斜邊AB的中點(diǎn),

AD=BD=5,

DEFG為矩形,

∴∠ADE=90°

∴∠ADE=C,又∠A=A,

∴△ADE∽△ACB,

AD:AC=DE:BC,即5:8=DE:6,

解得,DE=,

∵△ADE∽△FGB,

AD:GF=DE:BG

BG=,

EF=DG=AB-AD-BG=

2過點(diǎn)于點(diǎn), 從而

易得△,

, 可得

所以

3由題意,點(diǎn)可以在邊或者上.

①若點(diǎn)在邊上,

,可知,于是;

②若點(diǎn)在邊上.

,矩形邊長,

由△∽△, 可得, ,

化簡(jiǎn)可得 因式分解后有: ,

而由△∽△, 所以 從而

綜上知,AC的值為912.

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(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)時(shí),求證:AF=AB+CF

(2)如圖②,當(dāng)∠BAE=30°時(shí),求證:AF=2AB2CF;

(3)如圖③,當(dāng)∠BAE=60°時(shí),(2)中的結(jié)論是否還成立?若不成立,請(qǐng)判斷AFAB、CF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

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