【題目】小賢與小杰在探究某類二次函數問題時,經歷了如下過程:
求解體驗:
(1)已知拋物線y=﹣x2+bx﹣3經過點(﹣1,0),則b= ,頂點坐標 ,該拋物線關于點(0,1)成中心對稱的拋物線的表達式是 .
抽象感悟:
我們定義:對于拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),以y軸上的點M(0,m)為中心,作該拋物線關于點M對稱的拋物線y',則我們又稱拋物線y'為拋物線y的“衍生拋物線”,點M為“衍生中心”.
(2)已知拋物線y=﹣x2﹣2x+5關于點(0,m)的衍生拋物線為y',若這兩條拋物線有交點,求m的取值范圍.
問題解決:
(3)已知拋物線y=ax2+2ax﹣b(a≠0)若拋物線y的衍生拋物線為y'=bx2﹣2bx+a2(b≠0),兩拋物線有兩個交點,且恰好是它們的頂點,求a,b的值及衍生中心的坐標.
【答案】(1)﹣4,(﹣2,1),y=x2﹣4x+5; (2)m≤5;(3)a=3,b=﹣3,衍生中心的坐標為(0,6);
【解析】
求解體驗:(1)利用待定系數法求出b的值,進而求出頂點坐標,在拋物線上取一點(0,﹣3),求出點(﹣2,1)和(0,﹣3)關于(0,1)的對稱點坐標,利用待定系數法即可得出結論;
抽象感悟:(2)求出拋物線的頂點坐標(﹣1,6),進而利用待定系數法求出衍生函數解析式,聯立即可得出結論;
問題解決:(3)①求出拋物線的頂點坐標和衍生拋物線的頂點坐標,分別代入拋物線解析式中,即可求出a,b的值,即可得出結論;
解:求解體驗:
(1)∵拋物線y=﹣x2+bx﹣3經過點(﹣1,0),
∴﹣1﹣b﹣3=0,
∴b=﹣4,
∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣(x+2)2+1,
∴拋物線的頂點坐標為(﹣2,1),
∴拋物線的頂點坐標(﹣2,1)關于(0,1)的對稱點為(2,1),
即:新拋物線的頂點坐標為(2,1),
令原拋物線的x=0,
∴y=﹣3,
∴(0,﹣3)關于點(0,1)的對稱點坐標為(0,5),
設新拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2+1,
∵點(0,5)在新拋物線上,
∴5=a(0﹣2)2+1,
∴a=1,
∴新拋物線解析式為y=(x﹣2)2+1=x2﹣4x+5,
故答案為:﹣4,(﹣2,1),y=x2﹣4x+5;
抽象感悟:
(2)∵拋物線y=﹣x2﹣2x+5=﹣(x+1)2+6①,
∴拋物線的頂點坐標為(﹣1,6),
設衍生拋物線為y′=a(x﹣1)2+2m﹣6,
∵拋物線y=﹣x2﹣2x+5關于點(0,m)的衍生拋物線為y′,
∴a=1,
∴衍生拋物線為y′=(x﹣1)2+2m﹣6=x2﹣2x+2m﹣5②,
聯立①②得,x2﹣2x+2m﹣5=﹣x2﹣2x+5,
整理得,2x2=10﹣2m,
∵這兩條拋物線有交點,
∴10﹣2m≥0,
∴m≤5;
問題解決:
(3)①拋物線y=ax2+2ax﹣b=a(x+1)2﹣a﹣b,
∴此拋物線的頂點坐標為(﹣1,﹣a﹣b),
∵拋物線y的衍生拋物線為y′=bx2﹣2bx+a2=b(x﹣1)2+a2﹣b,
∴a+b=0,③
∵兩個拋物線有兩個交點,且恰好是它們的頂點,
∴b+2b+a2=﹣a﹣b④,
聯立③④,得:
a=0(舍)或a=3,
∴b=﹣3,
∴拋物線y的頂點坐標為(﹣1,0),拋物線y的衍生拋物線的頂點坐標為(1,12),
∴衍生中心的坐標為:(0,6).
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形中的三個頂點在⊙上,是優(yōu)弧上的一個動點(不與點、重合).
(1)當圓心在內部,時,________.
(2)當圓心在內部,四邊形為平行四邊形時,求的度數;
(3)當圓心在外部,四邊形為平行四邊形時,請直接寫出與的數量關系.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】下面是小元設計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:如圖,⊙O及⊙O上一點P.
求作:過點P的⊙O的切線.
作法:如圖,
①作射線OP;
②在直線OP外任取一點A,以點A為圓心,AP為半徑作⊙A,與射線OP交于另一點B;
③連接并延長BA與⊙A交于點C;
④作直線PC;
則直線PC即為所求.
根據小元設計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明:
證明:∵ BC是⊙A的直徑,
∴∠BPC=90°(____________)(填推理的依據).
∴OP⊥PC.
又∵OP是⊙O的半徑,
∴PC是⊙O的切線(____________)(填推理的依據).
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在美化校園的活動中,某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角,墻DF足夠長,墻DE長為9米,現用20米長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD,點C在墻DF上,點A在墻DE上,(籬笆只圍AB,BC兩邊).
(Ⅰ)根據題意填表;
BC(m) | 1 | 3 | 5 | 7 |
矩形ABCD面積(m2) |
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(Ⅱ)能夠圍成面積為100m2的矩形花園嗎?如能說明圍法,如不能,說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD是∠BAC內的一條射線,BE⊥AD,且△CHM可由△BEM旋轉而得,則下列結論中錯誤的是( )
A.M是BC的中點B.FM=EH
C.CF⊥ADD.FM⊥BC
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】下列函數關系式中,二次函數的個數有( )
(1)y=3(x-1)2+1 (2)y=(3)S=3-2t2 (4)y= x4+2x2-1 (5)y=3x(2-x)+ 3x2 (6) y=mx2+x
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y=-x2+bx+c經過A(-3,0)和B(0,3)兩點,將這條拋物線的頂點記為M,它的對稱軸與x軸的交點記為N.
(1)求拋物線C的表達式;
(2)求點M的坐標;
(3)將拋物線C平移到拋物線C′,拋物線C′的頂點記為M′,它的對稱軸與x軸的交點記為N′.如果以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形,那么應將拋物線C怎樣平移?為什么?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點D是邊BC的中點,DE⊥AC、DF⊥AB,垂足分別是E、F,且BF=CE.
(1)求證:DE=DF;
(2)當∠A=90°時,試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形,并證明你的結論.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知點A(4,3),B(9,3),將線段AB向下平移3個得到DC,其中點A與點D對應,點B與點C對應.
(1)畫出線段DC,并直接寫出點D的坐標 ;
(2)連接AD和BC得到四邊形ABCD繞點D逆時針旋轉90°后得到四邊形EFGD,點A與E對應,點B與點F對應,點C與點G對應.
①請畫出四邊形EFGD,并直接寫出點F的坐標 ;
②連接DB、DF、BF,△ABC的面積是 .
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