Question

16．我們把一個半圓與二次函數圖象的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點（半圓與二次函數圖象的連接點除外），那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，二次函數y=x²-2x-3的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點D，AB為半圓直徑，半圓圓心為點M，半圓與y軸的正半軸交于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）分別求出經過點C和點D的“蛋圓”的切線的表達式．

Answer 1

分析 （1）連接CM，易求點A，B的坐標，進而可得到AB的長，則圓的半徑可求出，再由勾股定理可求出OC的長，繼而可求出點C的坐標；
（2）由（1）可知點C的坐標，設過點C的“蛋圓”的切線交x軸于點G，然后根據三角形性質求出G點坐標，用待定系數法求出直線GC的解析式；因為經過點D的“蛋圓”切線過D點，所以本題可設它的解析式為y=kx-3．根據圖象可求出拋物線的解析式，因為相切，所以它們的交點只有一個，進而可根據一元二次方程的有關知識解決問題．

解答 解：（1）∵二次函數y=x²-2x-3的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點D，
∴點A（-1，0），點B的坐標是（3，0），
∴AB=4，
∵半圓圓心為點M，
∴BM=AM=2，
∴OM=1，
連接CM，
∴OC=$\sqrt{C{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴點C的坐標是（0，$\sqrt{3}$）；
（2）設過點C的“蛋圓”的切線交x軸于點G，
∵GC是⊙M的切線，
∴∠GCM=90°，
∴cos∠OMC=$\frac{OM}{MC}$=$\frac{MC}{MG}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{MG}$，
∴MG=4，
∴G（-3，0），
∴直線GC的表達式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
設過點D的直線表達式為y=kx-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{y{=x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
∴x²-（2+k）x=0，
∴△=[-（2+k）]²=0，
∴k=-2，
∴過點D的“蛋圓”的切線的表達式為y=-2x-3．

點評 本題考查和圓以及二次函數有關的綜合題目，需靈活運用待定系數法建立函數解析式，并利用切線的性質，結合一元二次方程是解題關鍵，題目的設計新穎，是一道不錯的中考題目．