Question

（1）如圖1，點E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，∠EAF=45°，連接EF，
則EF、BE、FD之間的數(shù)量關系是：EF=BE+FD．連結BD，交AE、AF于點M、N，且MN、BM、DN滿足，請證明這個等量關系；
（2）在△ABC中， AB=AC，點D、E分別為BC邊上的兩點．
①如圖2，當∠BAC=60°，∠DAE=30°時，BD、DE、EC應滿足的等量關系是__________________；
②如圖3，當∠BAC=，(0°<<90°)，∠DAE=時，BD、DE、EC應滿足的等量關系是____________________．【參考：】

Answer 1

（1）證明見解析；（2）①DE²=BD²+BD•EC+EC²；②.

試題分析：（1）如圖1，把△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADM'，連接NM′．就可以得出△ABM≌△ADM′，就有∠BAM=∠DAM′，就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN=M′N，由勾股定理就可以得出結論MN²=DN²+BM².
（2）①如圖2，把△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到△ACF，連接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延長線于點G，由三角函數(shù)值就可以得出CG=CF，GF=CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出結論.
②如圖3，把△ABD繞點A逆時針旋轉a得到△ACF，連接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延長線于點G，由三角函數(shù)值就可以得出CG=cosa•CF，GF=sina•CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出結論.
試題解析：（1）如圖1，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠ABM=∠ADN=45°．
把△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADM'．連結NM'．
∴△ABM≌△ADM′.∴DM'=BM，AM'=AM，∠ADM'=∠ABM=45°，∠DAM'=∠BAM．
∴∠ADB+∠ADM′=45°+45°=90°，即∠NDM′=90°．
∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°.∴∠DAM′+∠DAF=45°，即∠M′AN=45°.∴∠M'AN=∠MAN．
在△AMN和△AM′N中，AM＝AM′，∠MAN＝∠M′AN，AN＝AN，
∴△AMN≌△AM′N（SAS）.∴M'N=MN．
∵∠NDM′=90°，∴M'N²=DN²+DM'²，
∴MN²=DN²+BM².

（2）①BD、DE、EC關系式為：DE²=BD²+BD•EC+EC²．理由如下：
如圖2，把△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到△ACF，連接EF，作FG⊥EC的延長線于點G．
∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°.∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．
∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等邊三角形.∴∠B=∠ACB=60°．∴∠ACF=60°.
∴∠ACF+∠ACB=60°+60°=120°，即∠ECF=120°.∴∠FCG=60°.∴∠CFG=30°.
∴CG=CF.
在Rt△CFG中，由勾股定理，得FG=CF．
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°.∴∠CAF+∠EAC=30°，即∠EAF=30°．∴∠DAE=∠FAE．
在△ADE和△AFE中，AD＝AE，∠DAE＝∠FAE，∠AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SAS）.∴DE=EF．
在Rt△EGF中，由勾股定理，得EF²=EG²+FG²，
∴.

②BD、DE、EC等量關系是：．理由如下：
把△ABD繞點A逆時針旋轉a得到△ACF，連接EF．作FG⊥EC的延長線于點G．
∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°.
∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACB+∠ACF+∠FCG=180°，∴∠BAC=∠FCG=α.
∴∠ACF=60°.
∴CG=cosα•CF，F(xiàn)G=sinα•CF．
∵∠DAE=α，∴∠BAD+∠CAE=α．
∴∠CAF+∠CAE=α，即∠EAF=α.
∴∠DAE=∠FAE．
在△ADE和△AFE中，AD＝AE，∠DAE＝∠FAE，∠AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SAS）.∴DE=EF．
在Rt△EGF中，由勾股定理，得EF²=EG²+FG²，
∴

∵，
∴．