【題目】已知△ABC中,D為AB邊上任意一點(diǎn),DF∥AC交BC于F,AE∥BC,∠CDE=∠ABC=∠ACB=α.
(1)如圖1,當(dāng)α=60°時(shí),求證:△DCE是等邊三角形;
(2)如圖2,當(dāng)α=45°時(shí),求證:① = ;②CE⊥DE.
(3)如圖3,當(dāng)α為任意銳角時(shí),請(qǐng)直接寫出線段CE與DE的數(shù)量關(guān)系是: = .
【答案】
(1)
證明:如圖1中,
∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴BC=BA,
∵DF∥AC,
∴∠BFD=∠BCA=60°,∠BDF=∠BAC=60°,
∴△BDF是等邊三角形,
∴BF=BD,
∴CF=AD,∠CFD=120°,
∵AE∥BC,
∴∠B+∠DAE=180°,
∴∠DAE=∠CFD=120°,
∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE,
∵∠CDE=∠B=60°,
∴∠FCD=∠ADE,
∴△CFD≌△DAE,
∴DC=DE,∵∠CDE=60°,
∴△CDE是等邊三角形
(2)
證明:①如圖2中,作FG⊥AC于G.
∵∠B=∠ACB=45°,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∵DF∥AC,
∴∠BDF=∠BAC=90°,
∴∠BFD=45°,∠DFC=135°,
∵AE∥BC,
∴∠BAE+∠B=180°,
∴∠DFC=∠DAE=135°,
∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE,
∵∠CDE=∠B=45°,
∴∠FCD=∠ADE,
∴△CFD∽△DAE,
∴ = ,
∵四邊形ADFG是矩形,F(xiàn)C= FG,
∴FG=AD,CF= AD,
∴ = ,
②作CE′⊥DE于E′
∵∠CDE=45°,
∴DE′=CDcos45°= CD,
∵DE= CD,
∴點(diǎn)E與點(diǎn)E′重合,
∴CE⊥DE
(3)1
【解析】(3)解:如圖3中,設(shè)AC與DE交于點(diǎn)O.
∵AE∥BC,
∴∠EAO=∠ACB,
∵∠CDE=∠ACB,
∴∠CDO=∠OAE,∵∠COD=∠EOA,
∴△COD∽△EOA,
∴ = ,
∴ = ,∵∠COE=∠DOA,
∴△COE∽△DOA,
∴∠CEO=∠DAO.
∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°,∠BAC+∠B+∠ACB=180°,
∵∠CDE=∠B=∠ACB,
∴∠EDC=∠ECD,
∴EC=ED,
∴ =1.
故答案為1.
(1)想辦法證明△CFD≌△DAE即可解決問(wèn)題.(2)①如圖2中,作FG⊥AC于G.只要證明△CFD∽△DAE,推出 = ,再證明CF= AD即可.②作CE′⊥DE于E′,只要證明點(diǎn)E與點(diǎn)E′重合,即可推出CE⊥DE.(3)想辦法證明EC=ED即可解決問(wèn)題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,中, ,,將沿折疊,使點(diǎn)落在直角邊上的點(diǎn)處,設(shè)與邊分別交于點(diǎn),如果折疊后與均為等腰三角形,那么__________.
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【題目】如圖所示,有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯(即BC=EF),左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等,則直線BC與EF的位置關(guān)系是____﹒
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【題目】一點(diǎn)從數(shù)軸上表示的點(diǎn)開(kāi)始移動(dòng),第一次先向左移動(dòng)1個(gè)單位,再向右移動(dòng)2個(gè)單位;第二次先向左移動(dòng)3個(gè)單位,再向右移動(dòng)4個(gè)單位;第三次先向左移動(dòng)5個(gè)單位,再向右移動(dòng)6個(gè)單位……
(1)寫出第一次移動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù);
(2)寫出第次移動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù);
(3)如果第次移動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為56,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BC=6,將△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′,連接AA′,若A′B′恰好經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)O,則AA′的長(zhǎng)度為 .
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【題目】圖書(shū)管理員小張要騎車從學(xué)校到教育局,一出校門,遇到了王老師,王老師說(shuō):“今天有風(fēng),而且去時(shí)逆風(fēng),要吃虧了”,小張回答說(shuō):“去時(shí)逆風(fēng),回來(lái)時(shí)順風(fēng),和無(wú)風(fēng)往返一趟所用時(shí)間相同”.(順風(fēng)速度=無(wú)風(fēng)時(shí)騎車速度+風(fēng)速,逆風(fēng)速度=無(wú)風(fēng)時(shí)騎車速度-風(fēng)速)
(1)如果學(xué)校到教育局的路程是15 km,無(wú)風(fēng)時(shí)小張騎自行車的速度是20 km/h,他逆風(fēng)去教育局所用時(shí)間是順風(fēng)回學(xué)校所用時(shí)間的倍,求風(fēng)速是多少?
(2)如果設(shè)從學(xué)校到教育局的路程為s千米,無(wú)風(fēng)時(shí)騎車速度為v千米/時(shí),風(fēng)速為a千米/時(shí)(v>a),那么有風(fēng)往返一趟的時(shí)間 無(wú)風(fēng)往返一趟的時(shí)間(填“>”、“<”或“=”),試說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,∠AOB是一角度為10°的鋼架,要使鋼架更加牢固,需在其內(nèi)部添加一些鋼管:EF、FG、GH…,且OE=EF=FG=GH…,在OA、OB足夠長(zhǎng)的情況下,最多能添加這樣的鋼管的根數(shù)為 _________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(10,0),(0,4),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.
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