Question

如圖，已知拋物線y_＝ax ²＋bx＋c（a≠0）的頂點坐標為Q（2，－1），且與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交AC于點D．

（1）求該拋物線的函數關系式；

（2）當△ADP是直角三角形時，求點P的坐標；

（3）在題（2）的結論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

．解：（1）∵拋物線的頂點為Q（2，-1）設
將C（0，3）代入上式，得         
∴            即。

2）分兩種情況：

①當點P₁為直角頂點時，點P₁與點B重合（如圖）
令y=0，得        解得：，
∵點A在點B的右邊， ∴B（1，0），A（3，0） ∴P₁（1，0）    …………… 5分
②當點A為△APD₂的直角頂點時（如圖）

 ∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD₂=45°
當∠D₂AP₂=90°時，∠OAP₂=45°， ∴AO平分∠D₂AP₂ 
又∵P₂D₂∥y軸，    ∴P₂D₂⊥AO，     ∴P₂、D₂關于x軸對稱………………… 6分
設直線AC的函數關系式為
將A（3，0）， C（0，3）代入上式得， ∴      ∴
∵D₂在上，P₂在上

∴設D₂（x，-x+3），P₂（x，） 
∴（）+（）=0 ， ∴，（舍） 
∴當x=2時，==-1 
∴P₂的坐標為P₂（2，-1）（即為拋物線頂點）

 ∴P點坐標為P₁（1，0），P₂（2，-1）

（3）由題（2）知，當點P的坐標為P₁（1，0）時，不能構成平行四邊形   

當點P的坐標為P₂（2，-1）（即頂點Q）時，平移直線AP（如圖）交x軸于點E，交拋物線

于點F。當AP=FE時，四邊形PAFE是平行四邊形 
∵P（2，-1）， ∴可令F（x，1） ∴ 
解之得：，
∴F點有兩點，即F₁（，1），F₂（，1）