Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A（2，4）、B（3，5）、P（a，a），將線段AB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，其中A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C、D;

（1）當(dāng)a＝2時(shí)，

①在圖中畫出線段CD，保留作圖痕跡，并直接寫出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

②將線段CD向上平移m個(gè)單位，點(diǎn)C、D恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)y＝的圖象上，求m和k的值．

（2）若a＝4，將函數(shù)y＝（x＞0）的圖象繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到新圖象，直線AB與新圖象的交點(diǎn)為E、F，則EF的長(zhǎng)為　 　．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）①圖形見解析；C（4，2），D（5，1）；②m=3,k=20;（2）2

【解析】

（1）①畫出圖即可直觀求出點(diǎn)；②向上平移橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)加m，再結(jié)合反比函數(shù)解析式聯(lián)立方程求出m和k；

（2）判斷圖象旋轉(zhuǎn)后與直線相交的交點(diǎn)在直線上，而直線AB上點(diǎn)繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的軌跡是與AB垂直的直線，并且過A點(diǎn)，逆向思維，原反比例函數(shù)圖象與軌跡直線的交點(diǎn)間距離就是EF距離．

（1）①根據(jù)題意作出圖象如下：

C（4，2），D（5，1），

②C點(diǎn)向上平移m個(gè)單位后點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2+m），

D點(diǎn)向上平移m個(gè)單位后點(diǎn)坐標(biāo)為（5，1+m），

∵點(diǎn)C、D恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)y＝的圖象上，

∴4（2+m）＝5（1+m），

解得m＝3，

∴平移后C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5），代入y＝，

得到k＝20；

（2）設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，將點(diǎn)A（2，4）、B（3，5）代入，

，

解得，

∴直線AB解析式為y＝x+2，

∴直線AB與新圖象的交點(diǎn)在過A點(diǎn)與AB垂直的直線上，

∴該直線解析式為y＝﹣x+6，

反比例函數(shù)與y＝﹣x+6的兩交點(diǎn)的距離即為EF的距離，

，

∴x2﹣6x+4＝0，

∴x1+x2＝6，x1x2＝4，

∴EF＝|x1﹣x2|＝2．