Question

【題目】我們知道1+2+3+…+=，則1+2+3+…+10＝ ___________ .

[問題提出] 那么 的結(jié)果等于多少呢？

[閱讀理解] 在圖1所示的三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12 ；第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2，即22；......；第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為n+n+n即 n2；這樣，該三角形數(shù)陣中共有____ 個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)的和可表示為_________________ .

圖1

[規(guī)律探究] 將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n－1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n－1，2，n）發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中的數(shù)的和均為______________.由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：

3（ ）＝_________________.因此， ＝__________.

圖2

[問題解決]

（1）.根據(jù)以上規(guī)律可得 __________________.

（2）.試計(jì)算 ，請(qǐng)寫出計(jì)算步驟.

Answer 1

【答案】55；；；（）；；；（1）7；（2）2485

【解析】

把n=10代入1+2+3+…+=，即可求出1+2+3+…+10的值；

[閱讀理解]：由圖1可知，共有1+2+3+…+n=個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)的和可表示為；

[規(guī)律探究]：由圖2知，每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中的數(shù)的和均為.由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：3（ ）＝每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中的數(shù)的和（）×位置的個(gè)數(shù)，因此， ＝；

[問題解決]：（1）先化簡(jiǎn)把，然后把n=10代入就算即可；（2）用（）減去（）即可求出結(jié)論.

當(dāng)n=10時(shí)，

1+2+3+…+==55；

[閱讀理解]：由圖1可知，共有1+2+3+…+n=個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)的和可表示為；

[規(guī)律探究]：由圖2知，每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中的數(shù)的和均為.由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：3（ ）＝，因此， ＝；

[問題解決]：（1）∵，

把n=10代入得，

原式==7；

（2）

=（）-（）

=

=

=2485.