【題目】如圖,OA和OB是⊙O的半徑,OB=2,OA⊥OB,P是OA上任一點,BP的延長線交⊙O于點Q,過點Q的⊙O的切線交OA延長線于點R.
(1)求證:RP=RQ;
(2)若OP=PQ,求PQ的長.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)連接OQ,由QR為圓O的切線,得到∠OQR為90°,即∠OQB+∠PQR=90°,由OA與OB垂直,根據(jù)垂直的定義得到∠BOA=90°,所以∠B+∠BPO=90°,再根據(jù)對頂角相等及等角的余角相等,得到∠RPQ=∠RQP,根據(jù)“等角對等邊”得證;
(2)根據(jù)OP=PQ,由“等邊對等角”得到∠POQ=∠PQO,又根據(jù)半徑OB=OQ,再根據(jù)“等邊對等角”得到∠B=∠BQO,在三角形OBQ中,由∠BOA為直角,設(shè)出∠B=∠PQO=∠POQ=x,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,即為∠B的度數(shù),又∠RPQ=∠BPO=60°,PR=QR,所以三角形PRQ為等邊三角形,所以PQ=QR,在直角三角形OQR中,根據(jù)30°的正切函數(shù)定義,由OQ=OB=2,即可求出QR的值,從而得到PQ的長.
(1)連接OQ.∵QR是切線,∴∠OQR=90°,∴∠BQO+∠PQR=90°.
∵OA⊥OB,∴∠BOA=90°,∴∠B+∠BPO=90°,又∠BPO=∠RPQ,∴∠B+∠RPQ=90°.
由OB=OQ得:∠B=∠BQO,∴∠RPQ=∠RQP,∴PR=QR;
(2)∵OP=PQ,∴∠POQ=∠PQO,
又OB=OQ,∴∠B=∠PQO,
設(shè)∠B=∠PQO=∠POQ=x,又∠BOP=90°,
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得:
∠B+∠BOP+∠POQ+∠PQO=180°,即x+90°+x+x=180°,
解得:x=30°,即∠B=30°,∴∠RPQ=∠BPO=60°,又PR=QR,∴△PQR為等邊三角形,即PQ=QR=PR,
在直角三角形OQR中,OQ=OB=2,
根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得:
.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商場準備進一批兩種不同型號的衣服,已知購進A種型號衣服9件,B種型號衣服10件,則共需1810元;若購進A種型號衣服12件,B種型號衣服8件,共需1880元;已知銷售一件A型號衣服可獲利18元,銷售一件B型號衣服可獲利30元,要使在這次銷售中獲利不少于699元,且A型號衣服不多于28件.
(1)求A、B型號衣服進價各是多少元?
(2)若已知購進A型號衣服是B型號衣服的2倍還多4件,則商店在這次進貨中可有幾種方案并簡述購貨方案.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近,東方紅商場決定開展“歡度端午,回饋顧客”的讓利促銷活動,對部分品牌粽子進行打折銷售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.
(1)打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元?
(2)陽光敬老院需購買甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,問打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了多少錢?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是邊AD,BC的中點,E,F(xiàn)分別是線段BM,CM的中點.
(1)求證:△ABM≌△DCM;
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結(jié)論;
(3)當四邊形MENF是正方形時,求AD:AB的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,A是反比例函數(shù)圖象上一點,過點A作AB⊥y軸于點B,點P在x軸上,△ABP的面積為4,則這個反比例函數(shù)的解析式為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有甲乙兩名采購員去同一家飼料公司分別購買兩次飼料,兩次購買飼料價格分別為m元/千克和n元/千克,且m≠n,兩名采購員的采購方式也不同,其中甲每次購買1000千克,乙每次用去800元,而不管購買多少飼料.
(1)甲、乙所購飼料的平均單價各是多少?(用字母m、n表示)
(2)誰的購貨方式更合算?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等邊邊長為8cm,點是的中點,點在射線上運動,以 為邊在右側(cè)作等邊,作射線交射線于點,連接.
(1)當點在線段(不包括端點)上時,求證:;
(2)求證:平分;
(3)連接,點在移動過程中,線段長的最小值等于 (直接寫出結(jié)果)
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