Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx-的圖象經過點A（-1，0）、C（2，0），與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D

（1）求二次函數的表達式及其頂點坐標；

（2）M（s，t）為拋物線對稱軸上的一個動點，

①若平面內存在點N，使得A、B、M、N為頂點的四邊形為矩形，直接寫出點M的坐標；

②連接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-，頂點坐標是（，）（2）①（，），（，-）或（，-）②≤t≤

【解析】

（1）根據二次函數y=ax2+bx-的圖象經過點A（-1，0）、C（2，0），可以求得該函數的解析式，然后將函數解析式化為頂點式，即可得到該函數的頂點坐標；

（2）①根據題意，畫出相應的圖形，然后利用分類討論的方法即可求得點M的坐標；

②根據題意，構造一個圓，然后根據圓周角與圓心角的關系和∠AMB不小于60°，即可求得t的取值范圍．

（1）∵二次函數y=ax2+bx-的圖象經過點A（-1，0）、C（2，0），

∴，得，

∴y=x2-x-=，

∴二次函數的表達式是y=x2-x-，頂點坐標是（，）；

（2）①點M的坐標為（，），（，-）或（，-）

理由：當AM1⊥AB時，如右圖1所示，

∵點A（-1，0），點B（0，-），

∴OA=1，OB=，

∴tan∠BAO==，

∴∠BAO=60°，

∴∠OAM1=30°，

∴tan∠OAM1=，

解得，DM1=，

∴M1的坐標為（，）；

當BM3⊥AB時，

同理可得，，解得，DM3=，

∴M3的坐標為（，-）；

當點M2到線段AB的中點的距離等于線段AB的一半時，

∵點A（-1，0），點B（0，-），

∴線段AB中點的坐標為（-），線段AB的長度是2，

設點M2的坐標為（，m），

則=1，解得，m=，

即點M2的坐標為（，-）；

由上可得，點M的坐標為（，），（，-）或（，-）；

②如圖2所示，作AB的垂直平分線，于y軸交于點F，

由題意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°，

∴以F為圓心，AF長為半徑作圓交對稱軸于點M和M′點，

則∠AMB=∠AM′B=∠AFB=60°，

∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1，

∴∠FAO=30°，AF==FM=FM′，OF=，

過點F作FG⊥MM′于點G，

∵FG=，

∴MG=M′G=，

又∵G（，-），

∴M（，），M′（，），

∴≤t≤．