Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0），與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D．拋物線頂點(diǎn)為H．

（1）求拋物線的解析式．

（2）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在直線AD上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）點(diǎn)P為直線AD上方拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD．當(dāng)S△PAD＝3，若在x軸上存在以動(dòng)點(diǎn)Q，使PQ+QB最小，若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及PQ+QB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（0，）或（2，）或（﹣2，﹣）（3）（2.5，0）

【解析】

（1）把A（﹣1，0）和B（3，0），代入到拋物線的解析式，即可解答

（2）存在，分三種情況討論，①EF可由AC平移得到，C、E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，A、F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再把F點(diǎn)代入直線AD的解析式為y＝x+，即可解答②如圖2所示，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，即可解答③如圖3所示，根據(jù)平移的規(guī)律，得知點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為﹣2，

代入解析式即可解答

（3）如圖4所示，過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直于BN，與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，設(shè)直線BN的解析式為y＝x+b，過(guò)點(diǎn)B（3，0），求出BN的解析式，再利用解析式算出M,N的值，再算出PQ+QB＝PQ+QH，當(dāng)P、Q、H三點(diǎn)共線時(shí)，PQ+QB最小，即為PH，即可解答

（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0），

∴，

解得，，

∴拋物線的解析式為：；

（2）存在，分三種情況討論，

①如圖1所示，

∵四邊形ACEF為平行四邊形，

∴EF可由AC平移得到，C、E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，A、F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

∵C（0，），點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1，

∴向右平移了一個(gè)單位，

∵A（﹣1，0），

∴F的橫坐標(biāo)為0，

∵直線AD的解析式為y＝x+，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，

∴F（0，）．

②如圖2所示，

此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，

∴F（2，）．

③如圖3所示，

根據(jù)平移的規(guī)律，得知點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為﹣2，

當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣，

∴F（﹣2，﹣）．

綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，）或（2，）或（﹣2，﹣）．

（3）如圖4所示，過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直于BN，與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，

設(shè)直線BN的解析式為y＝x+b，過(guò)點(diǎn)B（3，0），

解得b＝﹣，

∴直線BN的解析式為y＝x﹣，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，

∴N（1，﹣1），

設(shè)直線AD與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)M，

∴M（1，1），

∵S△ADP＝PM（xD﹣xA）＝3，

∴PM＝2，

∴P（1，3），

∵tan∠ABN＝，

∴QB＝QH，

∴PQ+QB＝PQ+QH，

span>∴當(dāng)P、Q、H三點(diǎn)共線時(shí)，PQ+QB最小，即為PH，

∵PN＝4，∠NPH＝∠ABN，

∴PH＝．

∴PQ+QB的最小值為，

此時(shí)點(diǎn)Q（2.5，0）．