【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,把矩形沿對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)折疊,點(diǎn)落在點(diǎn)處,與軸相交于點(diǎn).矩形的邊,的長(zhǎng)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根,且.
(1)求線(xiàn)段,的長(zhǎng);
(2)求證:,并求出線(xiàn)段的長(zhǎng);
(3)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);
(4)若是直線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn),使以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
【解析】
試題分析:(1)解方程即可得到結(jié)論;
(2)由四邊形ABCO是矩形,得到AB=OC,∠ABC=∠AOC=90°,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD=AB,∠ADE=∠ABC=90°,根據(jù)全等三角形的判定得到△ADE≌△COE;根據(jù)勾股定理得到OE=3;
(3)過(guò)D作DM⊥x軸于M,則OE∥DM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CM=,DM=,于是得到結(jié)論.
(4)過(guò)P1作P1H⊥AO于H,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到P1E=CE=5,P1E∥AC,設(shè)P1H=k,HE=2k,根據(jù)勾股定理得到P1E= k=5,于是得到P1(﹣,2+3),同理P3(,3﹣2),當(dāng)A與F重合時(shí),得到P2(4,5);當(dāng)CE是菱形EP4CF4的對(duì)角線(xiàn)時(shí),四邊形EP4CF4是菱形,得到EP4=5,EP4∥AC,如圖2,過(guò)P4作P4G⊥x軸于G,過(guò)P4作P4N⊥OE于N,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)解方程x2﹣12x+32=0得,x1=8,x2=4,∵OA>OC,∴OA=8,OC=4;
(2)∵四邊形ABCO是矩形,∴AB=OC,∠ABC=∠AOC=90°,
∵把矩形OABC沿對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)D處,∴AD=AB,∠ADE=∠ABC=90°,
∴AD=OC,∠ADE=∠COE,在△ADE與△COE中, ,∴△ADE≌△COE;
∵CE2=OE2+OC2,即(8﹣OE)2=OE2+42,∴OE=3;
(3)過(guò)D作DM⊥x軸于M,則OE∥DM,
∴△OCE∽△MCD,∴ ,∴CM=,DM=,∴OM= ,
∴D(﹣,);
(4)存在;∵OE=3,OC=4,∴CE=5,過(guò)P1作P1H⊥AO于H,∵四邊形P1ECF1是菱形,∴P1E=CE=5,P1E∥AC,
∴∠P1EH=∠OAC,∴ = ,∴設(shè)P1H=k,HE=2k,∴P1E=k=5,∴P1H=,HE=2,
∴OH=2+3,∴P1(﹣,2+3),同理P3(,3﹣2),
當(dāng)A與F重合時(shí),四邊形F2ECP2是菱形,∴EF2∥CP2,EF2,=CP2=5,∴P2(4,5);
當(dāng)CE是菱形EP4CF4的對(duì)角線(xiàn)時(shí),四邊形EP4CF4是菱形,∴EP4=5,EP4∥AC,
如圖2,過(guò)P4作P4G⊥x軸于G,過(guò)P4作P4N⊥OE于N,則P4N=OG,P4G=ON,EP4∥AC,∴=,
設(shè)P4N=x,EN=2x,∴P4E=CP4=x,∴P4G=ON=3﹣2x,CG=4﹣x,∴(3﹣2x)2+(4﹣x)2=(x)2,
∴x= ,∴3﹣2x= ,∴P4(,),
綜上所述:存在以點(diǎn)E,C,P,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,P(﹣,2+3),(,3﹣2),(4,5),(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)A(n,n﹣1)一定不在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)x1 , x2是方程x2+5x﹣3=0的兩個(gè)根,則x12+x22的值是( )
A.19
B.25
C.31
D.30
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明從今年1月初起刻苦練習(xí)跳遠(yuǎn),每個(gè)月的跳遠(yuǎn)成績(jī)都比上一個(gè)月有所增加,而且增加的距離相同.2月份,5月份他的跳遠(yuǎn)成績(jī)分別為4.1m,4.7m.請(qǐng)你算出小明1月份的跳遠(yuǎn)成績(jī)以及每個(gè)月增加的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰三角形紙片中,,,沿底邊上的高剪成兩個(gè)三角形,用這兩個(gè)三角形拼成平行四邊形,則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等腰三角形其中一個(gè)內(nèi)角為70°,那么這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為( )
A. 70° B. 70°或55° C. 40°或55° D. 70°或40°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為養(yǎng)成學(xué)生課外閱讀的習(xí)慣,各學(xué)校普遍開(kāi)展了“我的夢(mèng) 中國(guó)夢(mèng)”課外閱讀活動(dòng).某校為了解七年級(jí)1200名學(xué)生課外日閱讀所用時(shí)間情況,從中隨機(jī)抽查了部分同學(xué),進(jìn)行了相關(guān)統(tǒng)計(jì),整理并繪制出不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.請(qǐng)根據(jù)圖表信息解答問(wèn)題:
(1)表中 , ;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖中空缺的部分;
(3)樣本中,學(xué)生日閱讀所用時(shí)間的中位數(shù)落在第 組;
(4)請(qǐng)估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生日閱讀量不足1小時(shí)的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)不等式的基本性質(zhì),以下各題的結(jié)論正確的是( 。
A.若a≥b,則5b≤5aB.若b﹣3a>0,則b<3a
C.若﹣5x≥20,則x≥﹣4D.若a≤b,則ac≤bc
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,若第二象限內(nèi)的P點(diǎn)到x軸的距離為2,到y軸的距離為3,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_____.
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