【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑.∠ACB的平分線CD交⊙O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線PD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F.
(1)求證:DP∥AB;
(2)試猜想線段AE、EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(3)若AC=6,BC=8,求線段PD的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)BF-AE=EF,見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)由切線的性質(zhì)可得∠ODP=90°,∠BOD=90°,從而根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”即可證明DP∥AB;
(2)先證明△ADE≌△DBF,得到BF=DE,AE=DF,進(jìn)而根據(jù)線段的運(yùn)算得到“BF-AE=EF”;
(3)由勾股定理運(yùn)算得出AD,CE,CD的值,再根據(jù)PD∥AB得到∠PDA=∠ACD,從而證明△PAD∽△PDC,根據(jù)相似比計(jì)算得出PD即可.
解:(1)證明:連接OD,
∵PD切⊙O于點(diǎn)D,
∴OD⊥PD,∠ODP=90°
∵∠ACD=∠BCD,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD,
∴∠AOD=∠BOD=×180°=90°,
∴∠ODP=∠BOD,
∴PD∥AB
(2)BF-AE=EF,
證明如下:
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ADB=∠ADE+∠BDF=90°,
∵AE⊥CD,BF⊥CD
∴∠AED=∠BFD=90°,
∴∠FBD+∠BDF=90°,
∴∠FBD=∠ADE,
∵∠AOD=∠BOD
∴AD=BD
∴△ADE≌△DBF(AAS),
∴BF=DE,AE=DF
∴ BF-AE=DE-DF,
即BF-AE=EF
(3)∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠ACB=45°,
在Rt△ACB中,AB2=AC2+BC2=100,
在Rt△ADB中,AB2=2AD2,
∴AD=5,
在Rt△AEC中,AC2=AE2+CE2,
∴AE=CE=3,
在Rt△AED中,DE==4,
∴CD=CE+DE=7,
∵PD∥AB,
∴∠PDA=∠DAB,
∵∠ACD=∠BCD=∠DAB,
∴∠PDA=∠ACD,
又∵∠P=∠P,
∴△PAD∽△PDC,
∴====,
∴PA=PD+6,
∴=,
∴PD=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn),OD⊥BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線,交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BE.
(1)求證:BE與⊙O相切;
(2)設(shè)OE交⊙O于點(diǎn)F,若DF=1,BC=2,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們將拋物線通過(guò)平移后得到,且設(shè)平移后所得拋物線的頂點(diǎn)依次為,這些頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,我們將這些拋物線稱為“繽紛拋物線”(k為整數(shù)).
(1)的坐標(biāo)為____________,直接寫出平移后拋物線的解析式為____________(用k表示);
(2)若平移后的拋物線與拋物線交于點(diǎn)A,對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)B,若,求整數(shù)k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)B為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),連接AB,以AB為一邊向下作等邊△ABC,連接OC,則OC的最小值( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在“母親節(jié)”期間,某校部分團(tuán)員參加社會(huì)公益活動(dòng),準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批許愿瓶進(jìn)行
銷售,并將所得利潤(rùn)捐給慈善機(jī)構(gòu).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,這種許愿瓶一段時(shí)間內(nèi)的銷售量y(個(gè))于銷售單價(jià)x(元
/個(gè))之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示.
(1)試判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系,并求出函數(shù)關(guān)系式;
(2)若許愿瓶的進(jìn)價(jià)為6元/個(gè),按照上述市場(chǎng)調(diào)查銷售規(guī)律,求利潤(rùn)w(元)與銷售單價(jià)x(元/個(gè))之間的
函數(shù)關(guān)系式;
(3)若許愿瓶的進(jìn)貨成本不超過(guò)900元,要想獲得最大利潤(rùn),試求此時(shí)這種許愿瓶的銷售單價(jià),并求出
最大利潤(rùn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,已知△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形,∠EBD=30°,BE=DE,連接AD,點(diǎn)F為AD的中點(diǎn),連接EF.將△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn).
(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E位于BC邊上時(shí),延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)G.
①求證:BG=DE;
②若EF=3,求BE的長(zhǎng);
(2)如圖3,連接CF,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中試探究線段CF與EF之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】方程的根可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),則方程的實(shí)根x0所在的范圍是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校開(kāi)展“祖國(guó)在我心中”主題演講比賽,參加選拔比賽的選手的成績(jī)(滿分為分),分成五組,制成了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.
分?jǐn)?shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
(1)求分?jǐn)?shù)在參賽學(xué)生的頻率;
(2)求分?jǐn)?shù)在參賽學(xué)生的頻數(shù),并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)成績(jī)?cè)?/span>分以上的選手中,有三名男生和一名女生,學(xué)校從中隨機(jī)確定名選手參加市級(jí)比賽,求恰好是一名男生和一名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方形中,點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn),連接.
(1)如圖1,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,且.
①求證:;
②如圖2,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng),射線交于,交于,連接,試探究與之間的數(shù)量關(guān)系.
(2)如圖3,若,點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn),且,連接,直接寫出的最小值.
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