【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)y= 的圖象的一個交點(diǎn)為A(1,m).過點(diǎn)B作AB的垂線BD,與反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象交于點(diǎn)D(n,﹣2).
(1)求k1和k2的值;
(2)若直線AB、BD分別交x軸于點(diǎn)C、E,試問在y軸上是否存在一個點(diǎn)F,使得△BDF∽△ACE?若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:將A(1,m)代入一次函數(shù)y=2x+2中,得:m=2+2=4,即A(1,4),
將A(1,4)代入反比例解析式y(tǒng)= 得:k1=4;
過A作AM⊥y軸,過D作DN⊥y軸,
∴∠AMB=∠DNB=90°,
∴∠BAM+∠ABM=90°,
∵AC⊥BD,即∠ABD=90°,
∴∠ABM+∠DBN=90°,
∴∠BAM=∠DBN,
∴△ABM∽△BDN,
∴ = ,即 = ,
∴DN=8,
∴D(8,﹣2),
將D坐標(biāo)代入y= 得:k2=﹣16
(2)
解:符合條件的F坐標(biāo)為(0,﹣8),理由為:
由y=2x+2,求出C坐標(biāo)為(﹣1,0),
∵OB=ON=2,DN=8,
∴OE=4,
可得AE=5,CE=5,AC=2 ,BD=4 ,∠EBO=∠ACE=∠EAC,
若△BDF∽△ACE,則 = ,即 = ,
解得:BF=10,
則F(0,﹣8).
綜上所述:F點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣8)時,△BDF∽△ACE.
【解析】(1)將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出m的值,確定出A的坐標(biāo),將A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y= 中即可求出k1的值;過A作AM垂直于y軸,過D作DN垂直于y軸,可得出一對直角相等,再由AC垂直于BD,利用同角的余角相等得到一對角相等,利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形ABM與三角形BDN相似,由相似得比例,求出DN的長,確定出D的坐標(biāo),代入反比例函數(shù)y= 中即可求出k2的值;(2)在y軸上存在一個點(diǎn)F,使得△BDF∽△ACE,此時F(0,﹣8),理由為:由y=2x+2求出C坐標(biāo),由OB=ON=2,DN=8,可得出OE為三角形BDN的中位線,求出OE的長,進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AE,CE,AC,BD的長,以及∠EBO=∠ACE=∠EAC,若△BDF∽△ACE,得到比例式,求出BF的長,即可確定出此時F的坐標(biāo),
再利用BD=DF時,進(jìn)而得出即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解一次函數(shù)的性質(zhì)(一般地,一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì):(1)當(dāng)k>0時,y隨x的增大而增大(2)當(dāng)k<0時,y隨x的增大而減小),還要掌握反比例函數(shù)的圖象(反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線.反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.有兩條對稱軸:直線y=x和 y=-x.對稱中心是:原點(diǎn))的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一種某小區(qū)的兩幢10層住宅樓間的距離為AC=30m,由地面向上依次為第1層、第2層、…、第10層,每層高度為3m.假設(shè)某一時刻甲樓在乙樓側(cè)面的影長EC=h,太陽光線與水平線的夾角為α.
(1)用含α的式子表示h(不必指出α的取值范圍);
(2)當(dāng)α=30°時,甲樓樓頂B點(diǎn)的影子落在乙樓的第幾層?若α每小時增加15°,從此時起幾小時后甲樓的影子剛好不影響乙樓采光?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,經(jīng)過點(diǎn)B(﹣2,0)的直線y=kx+b與直線y=4x+2相交于點(diǎn)A(﹣1,﹣2),則不等式4x+2<kx+b<0的解集為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC,對角線BD平分∠ABC,P是BD上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別為M,N.
(1)求證:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求證:四邊形MPND是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E在對角線BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足為F,則EF的長為( )
A.1
B.
C.4﹣2
D.3 ﹣4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,△COD關(guān)于CD的對稱圖形為△CED.
(1)求證:四邊形OCED是菱形;
(2)連接AE,若AB=6cm,BC= cm.
①求sin∠EAD的值;
②若點(diǎn)P為線段AE上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),連接OP,一動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以1cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動到點(diǎn)P,再以1.5cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動到點(diǎn)A,到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動到點(diǎn)A所需要的時間最短時,求AP的長和點(diǎn)Q走完全程所需的時間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在Rt△ABC與Rt△ECD中,∠ACB=∠ECD=90°,CD為Rt△ABC斜邊上的中線,且ED∥BC.
(1)求證:△ABC∽△EDC;
(2)若CE=3,CD=4,求CB的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為迎接2017年中考,某中學(xué)對全校九年級學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)期末模擬考試,并隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的測試成績作為樣本進(jìn)行分析,繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)統(tǒng)計圖中提供的信息解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,樣本中表示成績類別為“中”的人數(shù);
(2)將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(3)若該中學(xué)九年級共有800人參加了這次數(shù)學(xué)考試,估計該校九年級共有多少名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績可以達(dá)到優(yōu)秀?
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