Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°．請完成以下任務．

（1）尺規(guī)作圖：①作∠A的平分線，交CB于點D；

②過點D作AB的垂線，垂足為點E．請保留作圖痕跡，不寫作法，并標明字母．

（2）若AC=3，BC=4，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）①作圖見解析；②作圖見解析；（2）CD=．

【解析】

（1）①按作角平分線的步驟（以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，與角的兩邊各有一個交點，分別以這兩個交點為圓心，以大于這兩點距離的一半為半徑畫弧，兩弧在角內交于一點，過點A以及這個交點作射線即可）進行作圖即可得；

②根據過直線外一點作直線的垂線的方法（以點D為圓心，以大于點D到直線AB的距離為半徑畫弧，與AB交于兩點，分別以這兩點為圓心，以大于這兩點的距離的一半畫弧，兩弧交于一點，過點D以及這個交點畫直線即可）進行作圖即可得；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AB的長，根據作圖可知DE=DC，∠AED=∠C=90°，再根據S△ACD+S△ABD=S△ABC，列式計算即可得答案.

（1）如圖所示：①AD是∠A的平分線；

②DE是AB的垂線；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AB==5，

由作圖過程可知：DE=DC，∠AED=∠C=90°，

∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，

∴ACCD+ABDE=ACBC，

∴×3×CD+×5×CD=×3×4，

解得：CD=．