【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),二次函數(shù)y=x2+bx﹣2的圖象經(jīng)過(guò)C點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)平移該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸所在直線l,若直線l恰好將△ABC的面積分為1:2兩部分,請(qǐng)求出此時(shí)直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)將△ABC以AC所在直線為對(duì)稱軸翻折180°,得到△AB′C,那么在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使△PB′C是以B′C為直角邊的直角三角形?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=x2-x﹣2;(2)直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(3﹣,0);(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(﹣,)或(﹣1,﹣1)或(,﹣).
【解析】
(1)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D,根據(jù)△AOB≌△CDA求出CD、OD得出C(3,1),再代入拋物線即可.
(2)先求出S△ABC,求出直線BC的解析式為,同理求得直線AC、AB的解析式,設(shè)直線l與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0),設(shè)直線l與BC、AC分別交于點(diǎn)F、E,根據(jù),得出,求出x即可,設(shè)直線l與BC、AB分別交于點(diǎn)F、E,根據(jù),得出 求出x即可.
(3)延長(zhǎng)CB交拋物線于點(diǎn)P3,過(guò)點(diǎn)B′作B′P1⊥BC,交拋物線于點(diǎn)P1、P2,設(shè)直線B′P1的解析式為:,過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥x軸于點(diǎn)M,根據(jù)△AOB≌△AMB′求出B′的坐標(biāo),得出直線B′P1的解析式為:,再根據(jù)得出P1、P2的坐標(biāo),根據(jù) 得出P3的坐標(biāo).
解:(1)如圖1所示,
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D,則∠CAD+∠ACD=90°.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠OAB+∠CAD=90°,
∴∠OAB=∠ACD,
∵∠BOA=∠ADC=90°,
在△AOB和△CDA中,
,
∴△AOB≌△CDA(AAS).
∴CD=OA=1,AD=OB=2,
∴OD=OA+AD=3,
∴C(3,1).
∵點(diǎn)C(3,1)在拋物線,
∴解得:b=,
∴拋物線的解析式為:.
(2)在Rt△AOB中,
∵OA=1,OB=2,
∴AB=,
∴.
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
∵B(0,2),C(3,1),
∴ ,
解得k=,b=2,
∴.
同理求得直線AC的解析式為:,
直線AB的解析式為:y=-2x+2,
設(shè)直線l與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0)
如圖2:設(shè)直線l與BC、AC分別交于點(diǎn)F、E,則EF=.
△CEF中,EF邊上的高h=OD-x=3-x.
由題意得:,
即:,
∴,
解得x1=,x2=(不合題意,舍去),
如圖3:
設(shè)直線l與BC、AB分別交于點(diǎn)F、E,
則EF=
△BEF中,EF邊上的高h=x.
由題意得:.
即:.
解得x1=1,x2=-1(不合題意,舍去)
當(dāng)直線l與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(,0)時(shí),恰好將△ABC的面積分為1:2的兩部分,
(3)存在.
如圖4,
延長(zhǎng)CB交拋物線于點(diǎn)P3,過(guò)點(diǎn)B′作B′P1⊥BC,交拋物線于點(diǎn)P1、P2,
則CB∥B′P1,
設(shè)直線B′P1的解析式為:,
過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥x軸于點(diǎn)M,
在△AOB和△AMB′中,
,
∴△AOB≌△AMB′(AAS),
∴B′M=BO=2,
AM=AO=1,
∴B′的坐標(biāo)為(2,-2),
∴,
∴b=,
∴直線B′P1的解析式為:y=
由 得 或 ,
∴P1的坐標(biāo)是(-1,-1),P2的坐標(biāo)是 ,
∵∠ACB=∠ACB′=45°,
∴∠B′CP3=90°,
由 得: (舍去),或 ,
∴P3的坐標(biāo)是 ,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是P1(-1,-1),P2,P3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的不等式組無(wú)解,且關(guān)于y的分式方程有非正整數(shù)解,則符合條件的所有整數(shù)k的值之和為( )
A.﹣7B.﹣12C.﹣20D.﹣34
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在菱形中, ,.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)向上作,且,以、為邊作矩形.設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(秒),矩形與菱形重疊部分圖形的面積為.
(1)用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng).
(2)當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí),求的值.
(3)當(dāng)時(shí),求與之間的函數(shù)關(guān)系式,
(4)如圖②,若點(diǎn)是的中點(diǎn),作直線.當(dāng)直線將矩形分成兩部分圖形的面積比為時(shí),直接寫(xiě)出的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線(為常數(shù),且)與軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為D.
(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若在第一象限的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A,B,P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求的值;
(3)在(1)的條件下,設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止. 當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠甲、乙兩個(gè)部門(mén)各有員工400人,為了解這兩個(gè)部門(mén)員工的生產(chǎn)技能情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,過(guò)程如下,請(qǐng)補(bǔ)充完整.
收集數(shù)據(jù)
從甲、乙兩個(gè)部門(mén)各隨機(jī)抽取20名員工,進(jìn)行了生產(chǎn)技能測(cè)試,測(cè)試成績(jī)(百分制)如下:
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90
75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83
80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述數(shù)據(jù)
按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):
成績(jī) 人數(shù) 部門(mén) | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
甲 | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
乙 |
(說(shuō)明:成績(jī)80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀,70--79分為生產(chǎn)技能良好,60--69分為生產(chǎn)技能合格,60分以下為生產(chǎn)技能不合格)
分析數(shù)據(jù)
兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:
部門(mén) | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲 | 78.3 | 77.5 | 75 |
乙 | 78 | 80.5 | 81 |
得出結(jié)論:
.估計(jì)乙部門(mén)生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為_(kāi)___________;
.可以推斷出_____________部門(mén)員工的生產(chǎn)技能水平較高,理由為_(kāi)____________.(至少?gòu)膬蓚(gè)不同的角度說(shuō)明推斷的合理性)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)今,青少年用電腦手機(jī)過(guò)多,視力水平下降已引起了全社會(huì)的關(guān)注,某校為了解八年級(jí)1000名學(xué)生的視力情況,從中抽查了150名學(xué)生的視力情況,通過(guò)數(shù)據(jù)處理,得到如下的頻數(shù)分布表.解答下列問(wèn)題:
視力范圍分組 | 組中值 | 頻數(shù) |
3.95≤x<4.25 | 4.1 | 20 |
4.25≤x<4.55 | 4.4 | 10 |
4.55≤x<4.85 | 4.7 | 30 |
4.85≤x<5.15 | 5.0 | 60 |
5.15≤x<5.45 | 5.3 | 30 |
合計(jì) | 150 |
(1)分別指出參加抽測(cè)學(xué)生的視力的眾數(shù)、中位數(shù)所在的范圍;
(2)若視力為4.85以上(含4.85)為正常,試估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生視力正常的人數(shù)約為多少?
(3)根據(jù)頻數(shù)分布表求加權(quán)平均數(shù)時(shí),統(tǒng)計(jì)中常用各組的組中值代表各組的實(shí)際數(shù)據(jù),把各組的頻數(shù)相應(yīng)組中的權(quán).請(qǐng)你估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生的平均視力是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了豐富校園文化,某校決定舉行學(xué)生趣味運(yùn)動(dòng)會(huì),將比賽項(xiàng)目確定為袋鼠跳,夾球跑,跳大繩,綁腿跑和拔河賽5項(xiàng),為了解學(xué)生對(duì)這5項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的喜歡情況,隨機(jī)調(diào)查了該校部分學(xué)生最喜歡的一種項(xiàng)目(每名學(xué)生必選且只能選擇5項(xiàng)中的一種),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)求a,b的值.
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,請(qǐng)你估計(jì)該校2500名學(xué)生中有多少名學(xué)生最喜歡綁腿跑.
學(xué)生最喜歡的活動(dòng)項(xiàng)目的人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
項(xiàng)目 | 學(xué)生數(shù)(名) | 百分比(%) |
袋鼠跳 | 45 | 15 |
夾球跑 | a | 10 |
跳大繩 | 75 | 25 |
綁腿跑 | b | 20 |
拔河賽 | 90 | 30 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作,書(shū)中有一個(gè)問(wèn)題:“今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等.交易其一,金輕十三兩.問(wèn)金、銀一枚各重幾何?”.意思是:甲袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同),乙袋中裝有白銀11枚(每枚白銀重量相同),稱重兩袋相等.兩袋互相交換1枚后,甲袋比乙袋輕了13兩(袋子重量忽略不計(jì)).問(wèn)黃金、白銀每枚各重多少兩?設(shè)每枚黃金重x兩,每枚白銀重y兩,根據(jù)題意得( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校為了提高學(xué)生跳遠(yuǎn)科目的成績(jī),對(duì)全校500名九年級(jí)學(xué)生開(kāi)展了為期一個(gè)月的跳遠(yuǎn)科目強(qiáng)化訓(xùn)練。王老師為了了解學(xué)生的訓(xùn)練情況,強(qiáng)化訓(xùn)練前,隨機(jī)抽取了該年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行跳遠(yuǎn)測(cè)試,經(jīng)過(guò)一個(gè)月的強(qiáng)化訓(xùn)練后,再次測(cè)得這部分學(xué)生的跳遠(yuǎn)成績(jī),將兩次測(cè)得的成績(jī)制作成圖所示的統(tǒng)計(jì)圖和不完整的統(tǒng)計(jì)表(滿分10分,得分均為整數(shù)).
根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題:
(1)訓(xùn)練后學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)表中,并補(bǔ)充完成下表:
(2)若跳遠(yuǎn)成績(jī)9分及以上為優(yōu)秀,估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生訓(xùn)練后比訓(xùn)練前達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)增加了多少?
(3)經(jīng)調(diào)查,經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后得到9分的五名同學(xué)中,有三名男生和兩名女生,王老師要從這五名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)寫(xiě)出訓(xùn)練報(bào)告,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法,求所抽取的兩名同學(xué)恰好是一男一女的概率.
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