Question

【題目】如圖，A、B是⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是⊙O上的動點(diǎn)（P不與A、B重合）、我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動角．

（1）已知∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動角，

①若AB是⊙O的直徑，則∠APB＝　 　°；

②若⊙O的半徑是1，AB＝，求∠APB的度數(shù)；

（2）已知O2是⊙O1外一點(diǎn)，以O2為圓心作一個(gè)圓與⊙O1相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB是⊙O1上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動角，直線PA、PB分別交⊙O2于M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）①90°；②45°或90°；（2）詳見解析.

【解析】

（1）①根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°即可求解；

②根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°，再分點(diǎn)P在優(yōu)弧上；點(diǎn)P在劣弧上兩種情況討論求解；

（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O1上的位置分為四種情況得到∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系．

解：（1）①若AB是⊙O的直徑，則∠APB＝90．

②如圖，連接AB、OA、OB．

在△AOB中，

∵OA＝OB＝1．AB＝，

∴OA2+OB2＝AB2．

∴∠AOB＝90°．

當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上時(shí)，∠APB＝∠AOB＝45°；

當(dāng)點(diǎn)P在劣弧上時(shí)，∠AP′B＝（360°﹣∠AOB）＝135°

（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O1上的位置分為以下四種情況．

第一種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖①

∵∠MAN＝∠APB+∠ANB，

∴∠APB＝∠MAN﹣∠ANB；

第二種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，如圖②．

∵∠MAN＝∠APB+∠ANP＝∠APB+（180°﹣∠ANB），

∴∠APB＝∠MAN+∠ANB﹣180°；

第三種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖③．

∵∠APB+∠ANB+∠MAN＝180°，

∴∠APB＝180°﹣∠MAN﹣∠ANB，

第四種情況：點(diǎn)P在⊙O2內(nèi)，如圖④，

∠APB＝∠MAN+∠ANB．