Question

8．已知二次函數(shù)y₁=-x²-2mx-m²-1（m是常數(shù)）．
（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點；
（2）當(dāng)m=1時，將函數(shù)y₁=-x²-2mx-m²-1的圖象向上平移5個單位，得到函數(shù)y₂=-x²+bx+c的圖象，且y₂=-x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，如圖所示．
①求點A、B、C的坐標(biāo)；
②如圖，矩形MPQN的頂點M、N在線段AB上（點M在點N的坐標(biāo)且不與點A、B重合），頂點P、Q在拋物線上A、B之間部分的圖象上，過A、C兩點的直線與矩形邊MP相交于點E，當(dāng)矩形MPQN的周長最大時，求△AME的面積；
③當(dāng)矩形MPQN的周長最大時，在坐標(biāo)軸上是否存在點D，使得△ACD的面積與②中△AME的面積相等？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）只要求出△＜0，即可；
（2）①先把拋物線化為頂點式，根據(jù)平移規(guī)律寫出解析式，再分別令x，y等于0，即可求出點的坐標(biāo)；
②設(shè)出點N，Q的坐標(biāo)，并表示矩形的長和寬，寫出二次函數(shù)求最大值即可；
③根據(jù)點D在坐標(biāo)軸上，設(shè)出點D的坐標(biāo)，列方程求解即可．

解答 解：（1）二次函數(shù)y₁=-x²-2mx-m²-1，
△=（-2m）²-4×（-1）×（-m²-1）=-4＜0，
∴不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點；
（2）①把m=1代入拋物線y₁=-x²-2mx-m²-1得：y₁=-x²-2x-2=-（x+1）²-1，向上平移5個單位得：y₂=-（x+1）²+4=-x²-2x+3，
令y=0得，0=-（x+1）²+4，解得：x=1，或x=-3，
∴點A（-3，0），B（1，0），
當(dāng)x=0時，y=3，
∴點C（0，3），
②如圖1：

設(shè)點N（m，0），則Q（m，-m²-2m+3），
QN=-m²-2m+3，MN=AB-2BN=4-2（1-m）=2m+2，
矩形MPQN的周長=2（-m²-2m+3+2m+2）=-2m²+10，
當(dāng)m=0時，矩形MPQN的周長有最大值是10，
此時N（0，0），M（-2，0），P（-2，3），Q（0，3），AM=1，OA=3，OC=3，
由題意易證△AEM∽△AOC，得$\frac{AM}{AO}=\frac{EM}{OC}$，
∴$\frac{1}{3}=\frac{EM}{3}$，解得：EM=1，
∴△AME的面積=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
③如圖2：

若點D在x軸上，設(shè)點D（n，0），AD=|n+3|，此時S_△ACD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$|n+3|×3=$\frac{1}{2}$，解得：n=$-\frac{10}{3}$，或n=$-\frac{8}{3}$，
此時點D坐標(biāo)為（$-\frac{10}{3}$，0），或（$-\frac{8}{3}$，0），
如圖3：

若點D在y軸上，設(shè)點D（0，p），CD=|p-3|，此時S_△ACD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$|p-3|×3=$\frac{1}{2}$，解得：p=$\frac{10}{3}$，或p=$\frac{8}{3}$，
此時點D坐標(biāo)為：（0，$\frac{10}{3}$），或（0，$\frac{8}{3}$），
綜上所述：△ACD的面積與②中△AME的面積相等時，點D的坐標(biāo)為：（$-\frac{10}{3}$，0），（$-\frac{8}{3}$，0），（0，$\frac{10}{3}$），（0，$\frac{8}{3}$）．

點評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會運用△判斷交點，會運用平移規(guī)律寫出拋物線解析式，知道設(shè)點可以表示線段進一步建立二次函數(shù)解決最值問題是解題的關(guān)鍵．