Question

【題目】在平面上，Rt△ABC與直徑為CE的半圓O，如圖1擺放，∠B=90°，BC=m，AC=2CE=n，半圓O交BC邊于點D，將半圓O繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點D隨半圓O旋轉(zhuǎn)，且∠ECD=∠ACB，旋轉(zhuǎn)角記為α（0°≤α≤180°）．
（1）①當(dāng)α=0°時，連接DE，則∠CDE=°，CD=；②當(dāng)α=180°時， = ．
（2）試判斷：旋轉(zhuǎn)過程中 的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．
（3）若m=4，n=5，當(dāng)α=∠ACB時，線段BD= ．
（4）若m=4 ，n=6，當(dāng)半圓O旋轉(zhuǎn)至與△ABC的邊相切時，線段BD= ．

Answer 1

【答案】
（1）90； m；
（2）如圖3中，

∵∠ACB=∠DCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∵ = = ，

∴△ACE∽△BCD，

∴ = = ；

（3）
（4）2 或
【解析】（1）解：①如圖1中
當(dāng)α=0時，連接DE，則∠CDE=90°，
∵∠CDE=∠B=90°，
∴DE∥AB，
∴ = = ，
∵BC=m，
∴CD= m，
所以答案是90°， m，
②如圖2中，當(dāng)α=180°時，BD=BC+CD= m，AE=AC+CE= n，
∴ = ．
所以答案是 ；

⑶如圖4中，當(dāng)α=∠ACB時，

在Rt△ABC中，∵AC=5，BC=4，
∴AB= =3，
在Rt△ABE中．∵AB=3，BE=BC﹣CE=1.5，
∴AE= = = ，
由（2）可知△ACE∽△BCD，
∴ = ，
∴ = ，
∴BD= ，
所以答案是 ；
⑷∵m=4 ，n=6，
∴CE=3，CD=2 ，AB= =2，
①如圖5中，當(dāng)α=90°時，半圓與AC相切，

在Rt△DBC中，BD= =2 ．
②如圖6中，當(dāng)α=90°+∠ACB時，半圓與BC相切，

作EM⊥AB于M，
∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，
∴四邊形BCEM是矩形，
∴BM=CE=3，ME=4 ，
∴AM=5，AE= = ，
由（2）可知 = ，
∴BD= ．
所以答案是2 或 ．