Question

【題目】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B，P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點(diǎn)M．CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM，PN．
（1）延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E（如圖2）． ①求證：△BPM≌△CPE；
②求證：PM=PN；
（2）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B，P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎？不必說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①如圖2：

∵BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，

∴∠BMA=∠CNM=90°，

∴BM∥CN，

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P為BC邊中點(diǎn)，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，

②∵△BPM≌△CPE，

∴PM=PE

∴PM= ME，

∴在Rt△MNE中，PN= ME，

∴PM=PN．

（2）證明：解：成立，如圖3．

證明：延長(zhǎng)MP與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，

∵BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，

∴∠BMN=∠CNM=90°

∴∠BMN+∠CNM=180°，

∴BM∥CN

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P為BC中點(diǎn)，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

在△BPM和△CPE中，

，

∴△BPM≌△CPE，

∴PM=PE，

∴PM= ME，

則Rt△MNE中，PN= ME，

∴PM=PN．

（3）證明：解：如圖4，

四邊形M′BCN′是矩形，

根據(jù)矩形的性質(zhì)和P為BC邊中點(diǎn)，得到△M′BP≌△N′CP，

得PM′=PN′成立．即“四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立”．

【解析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠MBP=∠ECP再根據(jù)BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE則PM= ME，而在Rt△MNE中，PN= ME，即可得到PM=PN．（2）證明方法與②相同．（3）四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立．