Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)，連接AE并延長與BC的延長線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EM⊥AF交BC于點(diǎn)M，連接AM與BD交于點(diǎn)N，現(xiàn)有下列結(jié)論：①AM＝MF；②ME2＝MCAM；③＝（sin∠DAE）2；④點(diǎn)N是四邊形ABME的外接圓的圓心，其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____．

Answer 1

【答案】①②．

【解析】

①正確．利用全等三角形的性質(zhì)證明AE＝EF即可解決問題．

②正確．證明△MEC∽△MFE即可解決問題．

③錯(cuò)誤．證明△ADE∽△ECM，可得＝（）2＝（）2＝（tan∠DAE）2．

④錯(cuò)誤．說明點(diǎn)N不是線段AM的中點(diǎn)，即可判斷．

解：∵四邊形ABC都是正方形，

∴AD∥BF，

∴∠DAE＝∠F，

∵∠AED＝∠FEC，DE＝EC，

∴△ADE≌△FCE（AAS），

∴AE＝EF，

∵ME⊥AF，

∴MA＝NF，故①正確，

∵∠EMC＝∠EMF，∠ECM＝∠MEF，

∴△MEC∽△MFE，

∴ME：MF＝MC：ME，

∴ME2＝MCMF＝MCAM，故②正確，

∵∠AEM＝90°，∠ADE＝∠ECM＝90°，

∴∠AED+∠MEC＝90°，∠MEC+∠EMC＝90°，

∴∠AED＝∠EMC，

∴△ADE∽△ECM，

∴＝（）2＝（）2＝（tan∠DAE）2，故③錯(cuò)誤，

∵∠ABM＝∠AEM＝90°，

∴A，B，M，E四點(diǎn)共圓，

∴四邊形的外接圓的圓心是線段AM的中點(diǎn)，顯然點(diǎn)N不是AM的中點(diǎn)，故④錯(cuò)誤．

故答案為①②．