【題目】探究題

【問題情境】
如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是BC邊上的一點,E是CD邊的中點,AE平分∠DAM.
(1)【探究展示】
直接寫出AM、AD、MC三條線段的數(shù)量關(guān)系:
(2)【拓展延伸】
AM=DE+BM是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形,其他條件不變,如圖2,探究展示(1)、(2)中的結(jié)論是否成立?請分別作出判斷,不需要證明.

【答案】
(1)AM=AD+MC
(2)

AM=DE+BM成立.

證明:過點A作AF⊥AE,交CB的延長線于點F,如圖1(2)所示.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.

∵AF⊥AE,

∴∠FAE=90°.

∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.

在△ABF和△ADE中,

∴△ABF≌△ADE(ASA).

∴BF=DE,∠F=∠AED.

∵AB∥DC,

∴∠AED=∠BAE.

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠FAB

=∠FAM.

∴∠F=∠FAM.

∴AM=FM.

∴AM=FB+BM=DE+BM.


(3)

①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立.

證明:延長AE、BC交于點P,如圖2(1),

∵四邊形ABCD是矩形,

∴AD∥BC.

∴∠DAE=∠EPC.

∵AE平分∠DAM,

∴∠DAE=∠MAE.

∴∠EPC=∠MAE.

∴MA=MP.

在△ADE和△PCE中,

∴△ADE≌△PCE(AAS).

∴AD=PC.

∴MA=MP=PC+MC

=AD+MC.

②結(jié)論AM=DE+BM不成立.

證明:假設(shè)AM=DE+BM成立.

過點A作AQ⊥AE,交CB的延長線于點Q,如圖2(2)所示.

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB∥DC.

∵AQ⊥AE,

∴∠QAE=90°.

∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.

∴∠Q=90°﹣∠QAB

=90°﹣∠DAE

=∠AED.

∵AB∥DC,

∴∠AED=∠BAE.

∵∠QAB=∠EAD=∠EAM,

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠QAB

=∠QAM.

∴∠Q=∠QAM.

∴AM=QM.

∴AM=QB+BM.

∵AM=DE+BM,

∴QB=DE.

在△ABQ和△ADE中,

∴△ABQ≌△ADE(AAS).

∴AB=AD.

與條件“AB≠AD“矛盾,故假設(shè)不成立.

∴AM=DE+BM不成立


【解析】證明:延長AE、BC交于點N,如圖1(1),

∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠ENC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠ENC=∠MAE.
∴MA=MN.
在△ADE和△NCE中,

∴△ADE≌△NCE(AAS).
∴AD=NC.
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC.

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