【題目】如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AD是⊙O的直徑,且BD=BC,延長(zhǎng)AD到E,且有∠EBD=∠CAB.

(1)求證:BE是⊙O的切線;
(2)若BC= ,AC=5,求圓的直徑AD及切線BE的長(zhǎng).

【答案】
(1)

證明:如圖,

連接OB,∵BD=BC,

∴∠CAB=∠BAD,

∵∠EBD=∠CAB,

∴∠BAD=∠EBD,

∵AD是⊙O的直徑,

∴∠ABD=90°,OA=BO,

∴∠BAD=∠ABO,

∴∠EBD=∠ABO,

∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°,

∵點(diǎn)B在⊙O上,

∴BE是⊙O的切線,


(2)

解:如圖2,

設(shè)圓的半徑為R,連接CD,

∵AD為⊙O的直徑,

∴∠ACCD=90°,

∵BC=BD,

∴OB⊥CD,

∴OB∥AC,

∵OA=OD,

∴OF= AC= ,

∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形,

∴∠BDE=∠ACB,

∵∠DBE=∠ACB,

∴△DBE∽△CAB,

,

∴DE= ,

∵∠OBE=∠OFD=90°,

∴DF∥BE,

,

,

∵R>0,

∴R=3,

∵BE是⊙O的切線,

∴BE= = =


【解析】(1)先根據(jù)等弦所對(duì)的劣弧相等,再結(jié)合∠EBD=∠CAB從而得到∠BAD=∠EBD,最后用直徑所對(duì)的圓周角為直角即可;(2)利用三角形的中位線先求出OF,再用平行線分線段成比例定理求出半徑R,最后用切割線定理即可.此題是切線的判定,主要考查了圓周角的性質(zhì),切線的判定,平行線分線段成比例定理,相似三角形的判定和相似,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是作出輔助線.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,一個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)被分隔成、、個(gè)區(qū), 區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形, 區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形.

(1)列式表示每個(gè)區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng),并將式子化簡(jiǎn);

(2)列式表示整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng),并將式子化簡(jiǎn);

(3)如果, ,求整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積.

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A.1
B.2
C.3
D.4

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【題目】如圖,直線AB與坐標(biāo)軸分別交于A(﹣2,0),B(0,1)兩點(diǎn),與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)C(4,n),求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

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(1)用一正方形在表中隨意框住4個(gè)數(shù),把其中最小的數(shù)記為x,另三個(gè)數(shù)用含x的式子表示出來(lái),從小到大依次是__ __,__ __,__ __;

(2)在(1)前提下,當(dāng)被框住的4個(gè)數(shù)之和等于416時(shí),x的值是多少?

(3)在(1)前提下,被框住的4個(gè)數(shù)之和能否等于622?如果能,請(qǐng)求出此時(shí)x的值;如果不能,請(qǐng)說明理由.

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A.( ,﹣1)
B.(1,﹣
C.( ,﹣
D.(﹣ ,

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(2)當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí),四邊形AEOF是正方形?請(qǐng)說明理由.

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