【題目】如圖,正方形OABC的邊OA,OC在坐標(biāo)軸上,點B的坐標(biāo)為(-4,4).點P從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動;點Q從點O同時出發(fā),以相同的速度沿x軸的正方向運動,規(guī)定點P到達點O時,點Q也停止運動.連接BP,過P點作BP的垂線,與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D.BD與y軸交于點E,連接PE.設(shè)點P運動的時間為t(s).
(1)∠PBD的度數(shù)為 ,點D的坐標(biāo)為 (用t表示);
(2)當(dāng)t為何值時,△PBE為等腰三角形?
【答案】(1)45° (t,t);(2)t=4秒或(4-4)秒
【解析】
(1)易證△BAP≌△PQD,從而得到DQ=AP=t,從而可以求出∠PBD的度數(shù)和點D的坐標(biāo).
(2)由于∠EBP=45°,故圖1是以正方形為背景的一個基本圖形,容易得到EP=AP+CE.由于△PBE底邊不定,故分三種情況討論,借助于三角形全等及勾股定理進行求解,然后結(jié)合條件進行取舍,最終確定符合要求的t值.
(1)如圖1,
由題可得:AP=OQ=1×t=t(秒)
∴AO=PQ.
∵四邊形OABC是正方形,
∴AO=AB=BC=OC,
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°.
∵DP⊥BP,
∴∠BPD=90°.
∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ.
∵AO=PQ,AO=AB,
∴AB=PQ.
在△BAP和△PQD中,
∴△BAP≌△PQD(AAS).
∴AP=QD,BP=PD.
∵∠BPD=90°,BP=PD,
∴∠PBD=∠PDB=45°.
∵AP=t,
∴DQ=t.
∴點D坐標(biāo)為(t,t).
故答案為:45°,(t,t).
(2)①若PB=PE,則t=0(舍去),
②若EB=EP,
則∠PBE=∠BPE=45°.
∴∠BEP=90°.
∴∠PEO=90°-∠BEC=∠EBC.
在△POE和△ECB中,
∴△POE≌△ECB(AAS).
∴OE=CB=OC.
∴點E與點C重合(EC=0).
∴點P與點O重合(PO=0).
∵點B(-4,4),
∴AO=CO=4.
此時t=AP=AO=4.
③若BP=BE,
在Rt△BAP和Rt△BCE中,
∴Rt△BAP≌Rt△BCE(HL).
∴AP=CE.
∵AP=t,
∴CE=t.
∴PO=EO=4-t.
∵∠POE=90°,
∴PE=(4-t).
延長OA到點F,使得AF=CE,連接BF,如圖2所示.
在△FAB和△ECB中,
∴△FAB≌△ECB.
∴FB=EB,∠FBA=∠EBC.
∵∠EBP=45°,∠ABC=90°,
∴∠ABP+∠EBC=45°.
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP
=∠EBC+∠ABP=45°.
∴∠FBP=∠EBP.
在△FBP和△EBP中,
∴△FBP≌△EBP(SAS).
∴FP=EP.
∴EP=FP=FA+AP
=CE+AP.
∴EP=t+t=2t.
∴(4-t)=2t.
解得:t=4-4
∴當(dāng)t為4秒或(4-4)秒時,△PBE為等腰三角形.
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【題目】生產(chǎn)某種農(nóng)產(chǎn)品的成本每千克20元,調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)滿足如下關(guān)系:,設(shè)這種農(nóng)產(chǎn)品的銷售利潤為w元.
(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)該產(chǎn)品銷售價定為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?
(3)物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不得高于每千克28元,該農(nóng)戶想在這種產(chǎn)品經(jīng)銷季節(jié)每天獲得150元的利潤,銷售價應(yīng)定為每千克多少元?
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【題目】如圖,已知BD⊥AB于點B,AC⊥AB于點A,且BD=3,AC=2,AB=m,在線段AB上找一點E,使△BDE與△ACE相似,若這樣的點E有且只有兩個,則m的值是______
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【題目】九年級(1)班的小華和小紅兩名學(xué)生10次數(shù)學(xué)測試成績?nèi)缦卤恚ū?/span>I)所示:
小花 | 70 | 80 | 90 | 80 | 70 | 90 | 80 | 100 | 60 | 80 |
小紅 | 90 | 80 | 100 | 60 | 90 | 80 | 90 | 60 | 60 | 90 |
現(xiàn)根據(jù)上表數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計得到下表(表Ⅱ):
姓名 | 平均成績 | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
小華 | 80 | ||
小紅 | 80 | 90 |
(1)填空:根據(jù)表I的數(shù)據(jù)完成表Ⅱ中所缺的數(shù)據(jù);
(2)老師計算了小紅的方差請你計算小華的方差并說明哪名學(xué)生的成績較為穩(wěn)定.
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【題目】如圖,一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向,距離燈塔60 n mile的小島A出發(fā),沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處,這時輪船B與小島A的距離是( )
A. n mileB.60 n mileC.120 n mileD.n mile
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【題目】 已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5=0有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2.
(1)求a的取值范圍;
(2)若x12+x22﹣x1x2≤30,且a為整數(shù),求a的值.
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【題目】某玩具商店以每件60元為成本購進一批新型玩具,以每件100元的價格銷售則每天可賣出20件,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):若每件玩具每降價1元,則每天可多賣2件.
(1)若商店打算每天盈利1200元,每件玩具的售價應(yīng)定為多少元?
(2)若商店為追求效益最大化,每件玩具的售價定為多少元時,商店每天盈利最多?最多盈利多少元?
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【題目】某數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué).利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識,測底部可以到達的學(xué)校操場上的旗桿AB高度,他們采用了如下兩種方法:
方法1:在地面上選一點C,測得CB為40米,用高為1.6米的測角儀在C處測得旗桿頂部A的仰角為28°;
方法2:在相同時刻測得旗桿AB的影長為17.15米,又測得已有的2米高的竹桿的影長為1.5米.
你認為這兩種方法可行嗎?若可行,請你任選一種方法算出旗桿高度(精確到0.1米)若不可行,自己另設(shè)計一種測量方法(旗桿頂端不能到達),算出旗桿高度(結(jié)果可用字母表示)
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【題目】兩名同學(xué)在一次用頻率估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率,繪制出統(tǒng)計圖如圖所示,則符合這一結(jié)果的試驗可能是( )
A.拋一枚硬幣,正面朝上的概率
B.擲一枚正六面體的骰子,出現(xiàn)點的概率
C.轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率
D.從裝有個紅球和個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率
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