(2012•從化市一模)如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過A(-1,0)、B(0,3)兩點,與x軸交于另一點C,頂點為D.
(1)求該拋物線的解析式及點C、D的坐標(biāo);
(2)經(jīng)過點B、D兩點的直線與x軸交于點E,若點F是拋物線上一點,以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,求點F的坐標(biāo);
(3)如圖(2)P(2,3)是拋物線上的點,Q是直線AP上方的拋物線上一動點,求△APQ的最大面積和此時Q點的坐標(biāo).
分析:(1)首先將點A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可求出待定系數(shù)的值.再通過配方、令函數(shù)值為0可求出頂點D以及點C的坐標(biāo).
(2)由圖可知:若以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,令EF∥AB顯然不符合要求,那么只需考慮BF∥AE即可,那么還需滿足BF=AE;首先求出直線BD的解析式,進而得出點E的坐標(biāo)以及AE、BF的長,由此可確定點F的坐標(biāo),再代入拋物線的解析式中驗證即可.
(3)分別過點P、Q作x軸的垂線,那么△APQ的面積可由五邊形和△APS(以解答圖為準(zhǔn))的面積差求得,在得到關(guān)于△APQ的面積和Q點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可確定該題的答案.
解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過A(-1,0)、B(0,3)兩點,有:
a-b-3a=0
-3a=3
,
解得
a=-1
b=2

拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3
∵由-x2+2x+3=0,
解得:x1=-1,x2=3
∴C(3,0)
∵由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4
∴D(1,4).

(2)∵四邊形AEBF是平行四邊形,
∴BF=AE. 
設(shè)直線BD的解析式為:y=kx+b,則
∵B(0,3),D(1,4)
b=3
k+b=4
,
解得
k=1
b=3

∴直線BD的解析式為:y=x+3;
當(dāng)y=0時,x=-3
∴E(-3,0),∴OE=3,
∵A(-1,0)
∴OA=1,∴AE=2,
∴BF=2,
∴F的橫坐標(biāo)為2,
∴y=3,
∴F(2,3).

(3)如圖,設(shè)Q(a,-a2+2a+3),作PS⊥x軸,QR⊥x軸于點S、R,且P(2,3),
∴AR=a+1,QR=-a2+2a+3,PS=3,RS=2-a,AS=3
∴S△PQA=S四邊形PSRQ+S△QRA-S△PSA
=
(PS+QR)
2
×RS+
AR×QR
2
-
PS×AS
2

=
(3-a2+2a+3)
2
×(2-a)+
(a+1)×(-a2+2a+3)
2
-
3×3
2

∴S△PQA=-
3
2
a2+
3
2
a+3
=-
3
2
(a-
1
2
)2+
27
8

∴當(dāng)a=
1
2
時,S△PQA的最大面積為
27
8

此時Q(
1
2
,
15
4
)
點評:本題主要考查了二次函數(shù)、頂點坐標(biāo)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積等基礎(chǔ)知識,考查了計算能力.在解題時,要注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的合理應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•從化市一模)已知正比例函數(shù)y=kx(k≠0)函數(shù)值隨x的增大而增大,則一次函數(shù)y=-kx+k的圖象大致是(  )

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•從化市一模)先化簡,再求值:(a+b)2+(a-b)(2a+b)-3a2,其中a=2-
3
,b=2+
3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•從化市一模)化簡
a2-1
a
+
a+1
a
的結(jié)果是(  )

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•從化市一模)已知圓柱的底面半徑為2cm,高為5cm,則圓柱的側(cè)面積是
20π
20π
cm2.(結(jié)果保留π)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案