Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，點F是BC延長線上一點，以CF為邊，作菱形CDEF，使菱形CDEF與點A在BC的同側，連接BE，點G是BE的中點，連接AG、DG．

（1）如圖①，當∠BAC=∠DCF=90°時，直接寫出AG與DG的位置和數(shù)量關系；
（2）如圖②，當∠BAC=∠DCF=60°時，試探究AG與DG的位置和數(shù)量關系，
（3）當∠BAC=∠DCF=α時，直接寫出AG與DG的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：AG⊥DG，AG=DG，

證明：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，

∵四邊形DCEF是正方形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BC的中點，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DCF=90°，

∴∠DCB=90°，

∴∠ACD=45°，

∴∠ABH=∠ACD=45°，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∵∠BAH+∠HAC=90°，

∴∠CAD+∠HAC=90°，即∠HAD=90°，

∴AG⊥GD，AG=GD；

（2）

解：AG⊥GD，AG=DG；

證明：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，

∵四邊形DCEF是正方形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BC的中點，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60，

∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，

∴∠ABC=∠ACD=60°，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∴∠BAC=∠HAD=60°；

∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°，

∴tan∠DAG=tan30°==，

∴AG=DG．

（3）

解：DG=AGtan；

證明：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，

∵四邊形DCEF是正方形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BC的中點，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，

∴∠ABC=90°﹣，∠ACD=90°﹣，

∴∠ABC=∠ACD，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∴∠BAC=∠HAD=α；

∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=，

∴tan∠DAG=tan=，

∴DG=AGtan．

【解析】（1）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，通過證得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后證得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，進而求得∠HAD=90°，即可求得AG⊥GD，AG=GD；
（2）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，通過證得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后證得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，進而求得△HAD是等邊三角形，即可證得AG⊥GD，AG=DG；
（3）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，通過證得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后證得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，進而求得△HAD是等腰三角形，即可證得DG=AGtan．
【考點精析】通過靈活運用等腰三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半即可以解答此題．