【題目】如圖,等邊△ABC中,AB=6,點D在BC上,BD=4,點E從點C出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿CA方向向點A運動,△CDE關(guān)于DE的軸對稱圖形為△FDE.
(1)當t為何值時,點F在線段AC上.
(2)當0<t<4時,求∠AEF與∠BDF的數(shù)量關(guān)系;
(3)當點B、E、F三點共線時,求證:點F為線段BE的中點.
【答案】(1)t=1s;(2)當0<t≤1時,∠BDF﹣∠AEF=120°;當1<t<4時,∠BDF+∠AEF=120°;(3)詳見解析.
【解析】
(1)由折疊的性質(zhì)可得DF=DC,EF=EC,可證△DCF是等邊三角形,可求CE的長,即可求解;
(2)分兩種情況討論,由折疊的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理可求解;
(3)過點D作DG⊥EF于點G,過點E作EH⊥CD于點H,由勾股定理可求BG的長,通過證明△BGD∽△BHE,可求EC的長,即可得結(jié)論.
解:(1)∵△ABC是等邊三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵△CDE關(guān)于DE的軸對稱圖形為△FDE,
∴DF=DC,EF=EC,且點F在AC上,∠C=60°,
∴△DCF是等邊三角形,
∴CD=CF=AB﹣BD=2,
∴CE=1,
∴t==1s;
(2)如圖1,當0<t≤1時,
∵△CDE關(guān)于DE的軸對稱圖形為△FDE,
∴∠F=∠C=60°,∠FDE=∠CDE,∠CED=∠FED,
∵∠C+∠CDE+∠CED=180°,
∴∠C+∠F+∠CDE+∠EDF+∠CED+∠FED=360°,
∴∠CDF+180°+∠AEF=360°﹣120°
∴180°﹣∠BDF+180°+∠AEF=240°,
∴∠BDF﹣∠AEF=120°;
如圖2,當1<t<4時,
∵△CDE關(guān)于DE的軸對稱圖形為△FDE,
∴∠F=∠C=60°,∠FDE=∠CDE,∠CED=∠FED,
∵∠FDC+∠C+∠F+∠CEF=360°,
∴180°﹣∠BDF+120°+180°﹣∠AEF=360°,
∴∠BDF+∠AEF=120°;
(3)如圖3,過點D作DG⊥EF于點G,過點E作EH⊥CD于點H,
∵△CDE關(guān)于DE的軸對稱圖形為△FDE
∴DF=DC=2,∠EFD=∠C=60°,EF=EC,
∵GD⊥EF,∠EFD=60°
∴FG=1,DG=FG=,
∵BD2=BG2+DG2,
∴16=3+(BF+1)2,
∴BF=
∴BG=,
∵EH⊥BC,∠C=60°
∴CH=,EH=HC=EC,
∵∠GBD=∠EBH,∠BGD=∠BHE=90°
∴△BGD∽△BHE,
∴,
∴,
∴EC=﹣1,
∴EC=EF=BF=﹣1,
∴點F是線段BE的中點.
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【題目】(9分) “先學后教”課題組對學生參與小組合作的深度和廣度進行評價,其評價項目為主動質(zhì)疑、獨立思考、專注聽講、講解題目四項.課題組隨機抽取了若干名初中學生的參與情況,繪制了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中所給信息解答下列問題:
(1)在這次評價中,一共抽查了______名學生;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)求出扇形統(tǒng)計圖中,“主動質(zhì)疑”所對應扇形的圓心角的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商場為了吸引顧客,設(shè)立了可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤(如圖,轉(zhuǎn)盤被均勻分為20份),并規(guī)定:顧客每購買200元的商品,就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會.如果轉(zhuǎn)盤停止后,指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域,那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購物券,憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物.如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤,那么可以直接獲得購物券30元.
(1)求轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券的概率;
(2)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券,你認為哪種方式對顧客更合算?
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【題目】小明和小亮玩一種游戲:三張大小,質(zhì)地都相同的卡片上分別標有數(shù)字1,2,3,現(xiàn)將標有數(shù)字的一面朝下,小明從中任意抽取一張,記下數(shù)字后放回洗勻,然后小亮從中任意抽取一張,計算小明和小亮抽得的兩個數(shù)字之和,如果和為奇數(shù),則小明勝,若和為偶數(shù)則小亮勝.
(1)用列表或畫樹狀圖等方法,列出小明和小亮抽得的數(shù)字之和所有可能出現(xiàn)的情況.
(2)請判斷該游戲?qū)﹄p方是否公平?并說明理由.
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【題目】如圖,在和中,、、、在同一直線上,下面有四個條件:
①;②;③;④.請你從中選三個作為題設(shè),余下的一個作為結(jié)論,寫出一個真命題,并加以證明.
解:我寫的真命題是:
已知:____________________________________________;
求證:___________.(注:不能只填序號)
證明如下:
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【題目】某公司組織員工到附近的景點旅游,根據(jù)旅行社提供的收費方案,繪制了如圖所示的圖象,圖中折線ABCD表示人均收費y(元)與參加旅游的人數(shù)x(人)之間的函數(shù)關(guān)系.
(1)當參加旅游的人數(shù)不超過10人時,人均收費為 元;
(2)如果該公司支付給旅行社3600元,那么參加這次旅游的人數(shù)是多少?
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【題目】如圖,對面積為1的△ABC逐次進行以下操作:第一次操作,分別延長AB、BC、CA至點A1、B1、C1,使得A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,順次連接A1、B1、C1,得到△A1B1C1,記其面積為S1;第二次操作,分別延長A1B1,B1C1,C1A1至A2,B2,C2,使得A2B1=A1B1,B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,順次連接A2,B2,C2,得到△A2B2C2,記其面積為S2…,按此規(guī)律繼續(xù)下去.第n次操作得到△AnBnn,則S1=_____,△AnBnn的面積Sn=_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點O(0,0),A(0,1)是正方形OAA1B的兩個頂點,以OA1對角線為邊作正方形OA1A2B1,再以正方形的對角線OA2作正方形OA1A2B1,…,依此規(guī)律,則點A2017的坐標是( 。
A. (0,21008) B. (21008,21008) C. (21009,0) D. (21009,-21009)
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